1电路分析的一般方法解析

第一章上页下页现代电路与系统第一章电路分析的一般方法武汉理工大学信息工程学院第一章上页下页现代电路与系统本章介绍利用图论工具分析电路的方法。利用图论可以方便地列写独立的基尔霍夫定律方程，并将电路方程表达成矩阵形式。电路分析的一般方法第一章上页下页现代电路与系统本章目录1.1网络的图树1.2基本回路和基本割集1.3关联矩阵1.4基本回路矩阵1.5基本割集矩阵1.6广义支路及其方程的矩阵形式1.7用矩阵运算建立节点电压方程电路分析的一般方法第一章上页下页现代电路与系统电路分析的一般方法•图论是数学领域中一个十分重要的分支，本课程所涉及的只是图论在电网络中的应用，称网络图论。网络图论也称网络拓扑。•为在计算机上列出一个复杂网络的方程，必须用到网络图论和线性代数的一些概念。•网络图论已成为电网络计算机辅助分析中重要基础知识和不可缺少的工具。第一章上页下页现代电路与系统本节的基本要求：掌握网络的图、子图、连通图、割集和树的概念。1.1网络的图树第一章上页下页现代电路与系统•基尔霍夫定律是集中参数电路的基本定律，它说明电路中各部分电流和电压之间的约束关系，因为它只与电路的几何结构有关，我们用拓扑学中的一个重要分支——图论来研究。•因此结构约束又叫拓扑约束。1.1网络的图树第一章上页下页现代电路与系统•电路课程学习了几种有效的电路分析方法，–回路电流法–节点电压法–当电路结构简单时，可由人工用观察法列出电路方程。•当电路结构日趋复杂时，为了便于计算机辅助电路分析，有必要研究建立电路方程的方法；为了便于计算机求解方程，电路方程应使用矩阵形式表示。•本章介绍：–电路方程的矩阵形式极其系统建立法，它是电路的计算机辅助设计和分析所需的基本知识。1.1网络的图树第一章上页下页现代电路与系统图(graph):由“点”和“线”组成。•“点”也称为节点或顶点(vertex)，“线”也称为支路或边(edge)。•图通常用符号G来表示。1.1.1网络的图图(a)电路只含二端元件，对应的图如图(b)所示。电桥电路及其图123456④②③①123456④②③①(a)(b)1.1网络的图树第一章上页下页现代电路与系统连通图：图中任何两个节点之间至少存在一条路径，则称为连通图；否则称为非连通图。含互感电路及其图**1345672④⑤②③①1234567④⑤②③①(a)(b)M1.1网络的图树第一章上页下页现代电路与系统子图：图的一部分称为子图。一个孤立的节点也是一个子图。两个子图示例123456④②③①2346④②③①6②③①(a)(b)4④1.1网络的图树第一章上页下页现代电路与系统有向图：图中的所有支路都指定了方向，则称为有向图；反之为无向图回路：从图中某一节点出发，经过若干支路和节点(均只许经过一次)又回到出发节点所形成的闭合路径称为回路。123456④②③①1.1网络的图树第一章上页下页现代电路与系统割集：连通图的割集是一组支路集合，并且满足：(1)如果移去包含在此集合中的全部支路(但所有节点予以保留)，则留下的图形变成两个彼此分离而又各自连通的子图（这种子图也可以是一个孤立节点）。(2)如果留下该集合中的任一支路，则剩下的图形仍是连通的。条件②表明，割集是满足条件①的为数最少的支路集合。123456④②③①1.1网络的图树第一章上页下页现代电路与系统1.1网络的图树•割集定义中的要点–①移去割集后的图不连通；–②该不连通图具有两个分离部分（而不是多个）；–③割集是一个最小支路集合（少移去其中任意支路的图仍连通）。第一章上页下页现代电路与系统割集与非割集示例(a)、(b)为割集。(c)为非割集：移去后没变成两个分离部分。(d)为非割集：留下6后，剩下的图是非连通图。12345①146233456(a)(b)(c)(d)1.1网络的图树第一章上页下页现代电路与系统•线图象电路图一样可分成平面图和非平面图。•平面图能够画在一个平面上，并且除端点外所有支路都没有交叉的图。否则叫非平面图。•平面图的节点和支路构成一个凸多面体的顶点和棱。如果把其中任意一个面“扩大”，可把其它的面都包在里面而摊成平面。•也可以把某些支路拉伸到外侧而摊成平面。如：1.1网络的图树第一章上页下页现代电路与系统•将下图中的2、3支路拉伸到外侧，则各支路都不交叉，因而也是平面图。1.1网络的图树第一章上页下页现代电路与系统•再如下面的图，无论把支路伸缩还是把支路拉伸到外侧，要想把该图画在平面上，而各支路都不交叉是不可能的，因而是非平面图。1.1网络的图树第一章上页下页现代电路与系统树(tree)：连通图的树是一个包含全部节点而不形成回路的连通子图。1.1.2树同一个电路线图可构成不同的树。123456④②③①123456④②③①(a)(b)1.1网络的图树第一章上页下页现代电路与系统•一个电路线图可构成多少种树呢？–一个具有n个节点的网络，如果每对节点之间都有一条支路相连，则它的图形共有nn-2种树。•如上面的线图，共有四个节点，因此应有16种树。123456④②③①123456④②③①(a)(b)1.1网络的图树第一章上页下页现代电路与系统如图所示：1.1网络的图树第一章上页下页现代电路与系统•选定一种树后，线图的支路就分成了二种：树支：属于树的支路。连支：不属于树的支路。•从上面的16种树中我们可以看出，它们的树支数目是相同的，即有3条树支。该线图有四个节点，也就是树支的数目比节点数少1。•实际上这是一个普遍规律，是由树的构造方法决定的。•对于有n个节点、b条支路的图，树支的数目为：bt=n-1连支的数目为：bl=b-bt=b-n+11.1网络的图树第一章上页下页现代电路与系统•本节的基本要求–掌握基本回路和基本割集的定义；–理解基本回路KVL的独立性–理解基本割集KCL的独立性–理解树支电压的独立性和连支电流的独立性。1.2基本回路和基本割集第一章上页下页现代电路与系统•一个电路作出其线图，并取定一树，树上没有回路。如果在树上加一条连支，便形成一个回路。该回路是由添上的连支和若干树支组成的。而且添一连支与某些树支只能形成一个回路，且只能形成一个回路，若形成二个回路，则去掉该连支后，其它树支仍能形成回路，这就不是树了。1.2.1基本回路•因此，图上一条连支和若干树支形成一个而且只能形成一个回路，这种单连支形成的回路叫单连支回路，又叫基本回路。•基本回路的数目等于连支数，即bl=b-n+1。1.2基本回路和基本割集第一章上页下页现代电路与系统图中树支1、2、3用实线表示；连支4、5、6用虚线表示。添上连支4，则连支4与树支2、3组成一基本回路；添上连支5，则连支5与树支1、2、3组成一基本回路；添上连支6，则连支6与树支1、2组成一基本回路。1234514623(a)(b)(c)356256141l2l3l1.2基本回路和基本割集第一章上页下页现代电路与系统基本回路的性质：1l0324uuu(a)(b)2l03215uuuu(c)3l0126uuu图中3个基本回路的KVL方程为注意：连支的方向就是基本回路的方向。1234514623(a)(b)(c)356256141l2l3l1.2基本回路和基本割集第一章上页下页现代电路与系统再增加一个由支路1、4、5构成的回路:结论：基本回路上列写的基氏电压方程是一组独立方程。独立方程的数目等于连支数。1l0324uuu(a)(b)(c)2l3l03215uuuu0126uuu不再独立123456④②③①0154uuu由（a）与(b)相减得到1.2基本回路和基本割集第一章上页下页现代电路与系统1l0324uuu(a)(b)(c)2l3l03215uuuu0126uuu(a)216uuu3215uuuu324uuu(b)(c)结论：在全部支路电压中，树支电压是一组独立变量。上述三个基本回路方程可改写为：这说明①、连支电压可由树支电压线性组合得到。②、树支电压不能由其它树支电压得到。1.2基本回路和基本割集第一章上页下页现代电路与系统1.2.2基本割集基本割集（单树支割集）：C1、C2、C3。一个图可存在不同的割集，只包含一个树支，而其余均为连支的割集叫基本割集，也称单树支割集。基尔霍夫电流定律可用于割集：割集电流代数和为零。)1(nbt基本割集数等于树支数：1234561234562c123456(a)(b)(c)3c1c1.2基本回路和基本割集第一章上页下页现代电路与系统基本割集的性质3c(a)(b)(c)0543iii06542iiii0651iii1c2c以树支的电流方向作参考，写出基本割集的电流方程如下：1234561234562c123456(a)(b)(c)3c1c1.2基本回路和基本割集第一章上页下页现代电路与系统由1、2、4构成的割集0421iii（由(b)-(a)得到）不再独立1c3c(a)(b)(c)0543iii06542iiii0651iii2c结论：基本割集上列写的基氏电流方程是一组独立方程。独立方程的数目等于树支数。1234561234562c123456(a)(b)(c)3c1c1.2基本回路和基本割集第一章上页下页现代电路与系统结论：在全部支路电流中，连支电流是一组独立变量(a)(b)(c)0543iii06542iiii0651iii(a)(b)(c)543iii6542iiii651iii改变写法这说明①、树支电流可由连支电流线性组合得到。②、连支电流不能由其它连支电流得到。1.2基本回路和基本割集第一章上页下页现代电路与系统•本节的基本要求–熟练掌握关联矩阵的定义–掌握用关联矩阵表达基尔霍夫定律。1.3关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式第一章上页下页现代电路与系统1.3.1关联矩阵设一条支路连接于某两个节点，则称该支路与这两个节点相关联。支路与节点的关联性质可以用所谓关联矩阵描述。对于n个节点b条支路的图，定义一个矩阵(行号对应节点号，列号对应支路号),矩阵中第i行第j列元素定义为：不直接相联。与节点当支路，联入；向节点，当支路联出；从节点当支路ijijijaij01,11.3关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式第一章上页下页现代电路与系统例如，对如图所示的电桥电路的图，其节点-支路关联矩阵A为不直接相联。与节点当支路，联入；向节点，当支路联出；从节点当支路ijijijaij01,1011100110001100110001011'A支路：123456节点①节点②节点③节点④④②③124①3651.3关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式第一章上页下页现代电路与系统110001100110001011－－－－＝A除去节点④对应的第4行由于任一支路连接于两个节点，它从一个节点连出，必然连入另一节点，因此A每一列有两个非零元素，分别是1和-1，每一列元素之和均为零。所以A的任意一行都可由其它n-1行来确定，换言之，它只有n-1个独立行。可将其任意一行省略，得到一个缩减（降价）的矩阵，简称关联矩阵，记为A。011100110001100110001011'A支路：123456节点①节点②节点③节点④1.3关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式第一章上页下页现代电路与系统二、基尔霍夫定律的关联矩阵形式对上图的节点①、②、③列KCL方程并写成矩阵形式为：000110001100110001011654321iiiiii－－－－此方程组的系数矩阵就是该图的关联矩阵A。1、KCL的关联矩阵形式它是一个6元的单列矩阵，为了书写方便，写成单行矩阵的转置叫支路电流矢量。TiiiiiiI654321令④②③124①