线性代数B期末试卷及答案

(共6页第1页)2008–2009学年第二学期《线性代数B》试卷2009年6月22日一二三四五六总分一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）1.设8030010000100001A，则A＝.2.A为n阶方阵,TAA=E且EAA则,0.3．设方阵12243,311tAB为三阶非零矩阵，且AB=O，则t.4.设向量组m,,,21线性无关，向量不能由它们线性表示，则向量组,,,,21m的秩为.5．设A为实对称阵，且|A|≠0，则二次型f=xTAx化为f=yTA-1y的线性变换是x=．６．设3R的两组基为T11,1,1a，21,0,1a，31,0,1a；),1,2,1(1T，232,3,4,3,4,3，则由基123,,aaa到基123,,的过渡矩阵为.得分(共6页第2页)二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1.设Dn为n阶行列式，则Dn＝0的必要条件是[].(A)Dn中有两行元素对应成比例；(B)Dn中各行元素之和为零；(C)Dn中有一行元素全为零；(D)以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．2．若向量组，，线性无关，，，线性相关，则[].(A)必可由，，线性表示；(B)必可由，，线性表示；(C)必可由，，线性表示；(D)必可由，，线性表示.３．设3阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P－1AP＝[].(A)100010000；(B)000010001；(C)000010001－；(D)100000001－．４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[].(A)α1，α2，α3-α1；(B)α1，α1+α2，α1+α3；(C)α1+α2，α2+α3，α3+α1；(D)α1-α2，α2-α3，α3-α1.５．若矩阵A3×4有一个3阶子式不为0，则A的秩Ｒ(A)=[].(A)1；(B)2；(C)3；(D)4．６．实二次型f＝xTAx为正定的充分必要条件是[].(A)A的特征值全大于零；(B)A的负惯性指数为零；(C)|A|0；(D)R(A)=n.得分(共6页第3页)三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）1.求1122331001100110011bbbDbbb的值.２.求向量组)4,1,1,1(1,)5,3,1,2(2,)2,3,1,1(3,)6,5,1,3(4的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.得分(共6页第4页)３.设A、P均为3阶矩阵，且T100010,000PAP=若P=(α1,α2,α3),Q=(α1+α2,α2,α3),求QTAQ．4．设A是n阶实对称矩阵，OAA22，若)0()(nkkRA，求EA3.5.设矩阵22082006aA=相似于对角矩阵，求a.(共6页第5页)四、（本题满分10分）对线性方程组23112131231222322313233323142434.xaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa，，，(1)若4321,,,aaaa两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若baa31,baa42(b0)，且已知方程的两个解T1(1,1,1),T2(1,1,1)，试给出方程组的通解．得分(共6页第6页)五、（本题满分8分）设二次曲面方程122byzxzaxy（0a）经正交变换xyzQ，化成12222，求a、b的值及正交矩阵Q.六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，α为A的对应于实特征值λ的特征向量，β为AT的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．得分得分(共6页第7页)2008–2009学年第二学期《线性代数B》试卷参考答案2009年6月22日一二三四五六总分一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）1.设8030010000100001A，则A＝2.2.A为n阶方阵,TAA=E且EAA则,00.3．设方阵12243,311tAB为三阶非零矩阵，且AB=O，则t-3.4.设向量组m,,,21线性无关，向量不能由它们线性表示，则向量组,,,,21m的秩为m+1.5．设A为实对称阵，且|A|≠0，则二次型f=xTAx化为f=yTA-1y的线性变换是x=____y1A__．６．设3R的两组基为T11,1,1a，21,0,1a，31,0,1a；T1(1,2,1,),232,3,4,3,4,3，则由基123,,aaa到基123,,的过渡矩阵P=101010432．得分(共6页第8页)二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1.设nD为n阶行列式，则nD＝0的必要条件是[D].(A)nD中有两行元素对应成比例；(B)nD中各行元素之和为零；(C)nD中有一行元素全为零；(D)以nD为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．2．若向量组，，线性无关，，，线性相关，则[C].(A)必可由，，线性表示.(B)必可由，，线性表示.(C)必可由，，线性表示.(D)必可由，，线性表示.３．设3阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P－1AP＝[B].(A)100010000；(B)000010001；(C)000010001－；(D)100000001－．４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[D]．（A）α1，α2，α3-α1；（B）α1，α1+α2，α1+α3；（C）α1+α2，α2+α3，α3+α1；（D）α1-α2，α2-α3，α3-α1.５．若矩阵43A有一个3阶子式不为0，则[C].（A）Ｒ(A)=1；（B）Ｒ(A)=2；（C）Ｒ(A)=3；（D）Ｒ(A)=4．６．实二次型f＝xAx为正定的充分必要条件是[A]．(A)A的特征值全大于零；(B)A的负惯性指数为零；(C)|A|0；(D)R(A)=n.三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）得分得分(共6页第9页)1.求1122331001100110011bbbDbbb的值解：1112222333331001001000100100101.011001001001100110001bbbbbbDbbbbbb２.求向量组)4,1,1,1(1,)5,3,1,2(2,)2,3,1,1(3,)6,5,1,3(4的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.解：极大无关组12,，12332，1242.３.设A、P均为3阶矩阵，且T100010,000PAP=若P=(α1,α2,α3),Q=(α1+α2,α2,α3),求QTAQ．解：由于Q=(α1+α2,α2,α3)=(α1,α2,α3)100100110110,001001P于是QTAQ=TT100100110100110110010110001001001001PAPPAP110100100210010010110110.001000001000(共6页第10页)4．设A是n阶实对称矩阵，OAA22，若)0()(nkkRA，求EA3.解:由OAA22知,A的特征值-2或0,又)0()(nkkRA,且A是n阶实对称矩阵,则22~00A(k个-2)，故EA33nk．5.设矩阵22082006aA=相似于对角矩阵，求a.解：由|A-λE|=0，得A的三个特征值λ1=λ2=6，λ3=-2.由于A相似于对角矩阵，R（A-6E）=1，即42021084~00000000aa，显然，当a=0时，R（A-6E）=1，A的二重特征值6对应两个线性无关的特征向量．四、（本题满分10分）对线性方程组23112131231222322313233323142434.xaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa，，，(1)若4321,,,aaaa两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若baa31,baa42(b0)，且已知方程的两个解得分(共6页第11页)T1(1,1,1),T2(1,1,1)，试给出方程组的通解．解：（1）因为0))()()()()((111134241423131234244332333222231211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa，故()()RRAbA，无解．（2）2)(AR，3n，故通解21121()01,()21kkkxξξξR．五、（本题满分8分）设二次曲面的方程122byzxzaxy）0a经正交变换xyzQ，化成12222，求a、b的值及正交矩阵Q.解：设0120210aabbA，由0,20AEAE知1,2ba．当1时，111111111~000111000AE，t)0,1,1(1，T)2,1,1(2得分(共6页第12页)当2时，1012~011000AET3(1,1,1).故正交阵11126311126321063Q.六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，α为A的对应于实特征值λ的特征向量，β为AT的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．证：依题意得Aα=λα，ATβ=μβ，将Aα=λα的两边转置得，αTAT=λαT，在上式的两边右乘β得，αTATβ=λαTβ，即μαTβ=λαTβ，亦即（μ-λ）αTβ=0，由于λ≠μ，所以αTβ=0，故α与β正交．得分