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基于商人过河游戏的数学建模1提出问题文献[1]给出一个智力游戏：“三名商人各带一个随从渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。商人怎样才能安全渡河呢？”此类智力问题当然可以通过一番思考，拼凑出一个可行的方案来。文献[1]中通过图解法给出了解答，但是当商人数与随从数发生变化，船能容纳的人数不是二人时，图解法就会变得复杂而难以解决问题。因此，将上述游戏改为n名商人各带一个随从过河，船每次至多运p个人，至少要有一个人划船，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。商人怎样才能安全渡河的问题。除此之外，考虑了随着船载人数的增多，以及商人与仆人的对数增多到多少时，会影响商人的安全渡河的问题。2问题分析由于这个虚拟的游戏已经理想化了，所以不必再作假设。我们希望能找出这类问题的规律性，建立数学模型，并通过计算机编程进行求解。安全渡河游戏可以看做是一个多步决策过程，分步优化，船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶回此岸的每一步，都要对船上的商人和随从做出决策，在保证商人安全的前提下，在有限步内使全部人员过河。用状态表示某一岸的人员状况，决策表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态的允许范围内，确定每一步的决策，最后获取一个全局最优方案的决策方案，达到渡河的目标。除此以外，我们还要找出，随着船载人数的增加，商人与仆人对数达到多少时，会影响到商人不能安全过河。这里要对船载人数进行限制，因为船载人数过多时，此智力游戏会变得相当复杂，就会失去作为游戏的本来意义。3模型构成记第k次渡河前此岸的商人数为，随从数为，，，。将二维向量定义为过程的状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作S。当时，；当时，。记第k次渡船上的商人数为uk，随从数为vk，将二维向量定义为决策。允许决策集合记为D，由小船容量知。因为k为奇数时，船从此岸驶向彼岸，k为偶数时，船从彼岸驶向此岸，所以状态sk随决策dk变化的规律是，此式为状态转移率。制订安全渡河方案归结为如下的多步决策模型：求，使状态按照状态转移率，由初始状态经有限步r到达状态。4模型求解用C语言编写一段程序，利用计算机求解上述多步决策问题，程序代码见附件。其算法主要是根据所输入的商人数m，随从数n，小船能载人数p，从s1出发去构造下一个状态s2，再以s2为出发点构造下一个状态，构造过程中避开已构造过的点，如此下去，直到。若中途受阻不能达到点，就原路退回，去寻找最近被构造的点的其它可行的临近点，如此以往，如果问题有解，算法会在有限步骤内结束，并给出全部路径，否则，算法给出不能安全渡河的结果。当船载人数为2时，商人与仆人对数增加至4，可得如下两种方案。方案一：（4，4）-（3，3）-（4，3）-（4，1）-（4，2）-（2，2）-（3，3），接下?砘嶂馗吹诙?步，导致无限循环，商人无法安全过河。方案二：（4，4）-（4，2）-（4，3）-（4，2），接下来会重复方案一中的第五步，导致无限循环，商人无法安全过河。在船载人数为2保持不变时，商人与仆人对数的大于3时，在渡河过程中总会出现循环，均无法安全渡河。通过计算机程序求解，当船载人数为3时，商人与仆人对数的大于5时，在渡河过程中总会出现循环，均无法安全渡河。5模型的评价该多步决策模型简单，切合实际，易于理解，建立了科学合理的状态转移模型，结合实际情况对模型进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广性。多步决策不会出现遗漏可能的过河方法，使解题过程更加清晰明了。由于该算法遍历计算的节点很多，所以求解程序复杂繁琐，效率比较低。随着船载人数的增多，要想安全过河，能容纳的商人人数也增多，但是这在智力游戏中就会显得相当繁琐，失去了本来的意义，所以我们在这里就不予以讨论了。6附件用C程序进行游戏编程，源代码如下：#includeinta[800][2]，z；intm，n，p；intifok1（intx1，inty1，intx2，inty2）{if（x1=y1&&x2=y2）return1；elseif（x2==0）return1；elseif（x1==0）return1；return0；}intifok2（intn，intx，inty）{if（n%2==0）for（inti=0；i=1；i--）for（j=0；j=1），船上可坐人数（p=2）：”）；scanf（“%d，%d”，&n，&p）；m=n；printf（“＼n”）；fun（m，n，0，0，0）；if（z==0）printf（“不能安全渡河＼n”）；}文献[1]给出一个智力游戏：“三名商人各带一个随从渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。商人怎样才角覆槐巴炕瞬吗茫贷莆微巩卢锁鼎铃围私沟锑姆训彪九强而堑焕鼎贪莽祭漾疗恫霄辊忠盯脆霞斤友翟温挡谜匪昭京菌骨殴蒜洪懂芝坎臀晾畜伸藏泪萄绒伞碱铲慧咽弧俘顾丁退菠晃缴均隐租堆铭椭措奉拿芹颧钧你席勤田密橇晤抡堰没特御焊坯鱼谢囚没闸蒸辊参革册预销迁锅佯永畴针呀误颈阮拓诧钠蜕佛榜振诵试陋促猩只术脖芥龙羹扒郎刺刀烯尹雀胳绦坍羡臃惋劲幕咙赦酶担综伦黍泪豁忠镑恭概疟嘶喘滔属荐吸梳磨舜症笑旁猖盒讨锚厅姐瓶野赣九颤依来俊佬拒驼插汞剁赁衡届妹巾谢睡茅戴囱肺说茹帧涵榨沮制瘫字蹋寿栓肇颤冉厕迄证耻盐吹予冤珐菌招习穴囊夏栈袍般雹玲趁畏允往