吴赣昌线性代数第五版第二章-第一节------矩阵

第二章矩阵第一节矩阵的概念本节中的几个例子展示了如何将某个数学问题或实际应用问题与一张数表——矩阵联系起来，这实际上是对一个数学问题或实际应用问题进行数学建模的第一步。一、引例引例1按原位置构成如下数表：线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111)1(的系数),,,2,1,(njiaij),,2,1(nibinnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211)1(这个数表决定着方程组是否有解,以及如果有解,解是什么等问题.因此,研究这个数表就很有必要.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为例2：某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.ABCD四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站ABCDABCD其中表示有航班.为了便于计算,把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:1111111000000000这个数表反映了四城市间交通联接情况.ABCDABCD引例3某企业生产4种产品,各种产品的季度产值(单位:万如下表：产品产值季度ABCD123480989088757075707585908278849080元)季度的产值,数表80827088909075908485709878757580具体描述了这家企业各种产品各同时也揭示了产值随季度变化的规律、季增长率和年产量等情况.二、矩阵的定义定义1称为一个矩阵，记为由nm),2,1,,,2,1(njmiaijnm排列成的一个行列的数表，mn其中称为该矩阵的第行第列元素.ijaij表示矩阵.常用大写黑体字母,,,CBAAmnmmnnaaaaaaaaa212222111211nm一个矩阵，所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为0).可简记为nmijnmaAA)(O记为(有时亦所有元素均为非负数的矩阵称为非负矩阵.说明：若矩阵的行数与列数都等于)(ijaA,n则称为A阶方阵.记为n阶方阵仅是由个元素排成的一张数表,n2n注意它与阶行列式的区别.nnA两矩阵相等的概念如果两个矩阵具有相同的行数与相同的列数，这两个矩阵为同型矩阵.定义且对应元素均相等，且如果矩阵为同型矩阵，BA,则称矩阵与矩阵相等，AB记为.BA即若,)(nmijaA,)(nmijbBijijba),,,2,1,,,2,1(njmi则.BA则称例1：解设,562321zxA,8631zyxB已知,BA求.,,zyx,2xx,2y,85zz,1x,2y.2z几种特殊矩阵称为行矩阵只有一行的矩阵),,,(21naaaA形如的方阵称为对角矩阵，n00000021或行向量.称为列矩阵或列向量.只有一列的矩阵Anaaa21记为).,,,(diag21nA称为行矩阵只有一行的矩阵),,,(21naaaA形如的方阵称为对角矩阵，n00000021或行向量.记为).,,,(diag21nA称为行矩阵或只有一行的矩阵),,,(21naaaA形如的方阵称为对角矩阵，n00000021行向量.记为).,,,(diag21nA称为单位矩阵(亦可记为）.nII方阵nEE100010001an,,,21当时，a不为零，称为数量矩阵。思考题矩阵与行列式的有何区别?思考题解答矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.