实单位球上的面积积分算子

PureMathematics理论数学,2013,3,56-67doi:10.12677/pm.2013.31010PublishedOnlineJanuary2013()AreaIntegralOperatorontheRealUnitBall*DongfangWang1,2,BolinMa2,DanguiShen21CollegeofMathematicsandEconometrics,HunanUniversity,Changsha2CollegeofMathematicsPhysicsandInformationEngineering,JiaxingUniversity,JiaxingEmail:[e-mail],[e-mail]:Oct.14th,2012;revised:Oct.24th,2012;accepted:Nov.11th,2012Abstract:Inthispaper,weintroduceCarlesonmeasuresontherealunitballintermsofCarlesonboxesortents,andestablishrelationsamongthenon-tangentialmaximalfunction,PoissonintegralandCarlesonmeasuresontherealunitball.Asanapplication,weintroduceacertainareaintegraloperatorinvolvinganonnegativemeasureontheunitballandcharacterizethemeasureintermsofCarlesonmeasureandotherformssuchthatAmapsfrompLtoorfromqLpHto.qLKeywords:AreaIntegralOperator;CarlesonMeasure;TheUnitBall;TheUnitSphere实单位球上的面积积分算子*王东方1,2，马柏林2，沈丹桂21湖南大学数学与计量经济学院，长沙2嘉兴学院数理与信息工程学院，嘉兴Email:[e-mail],[e-mail]收稿日期：2012年10月14日；修回日期：2012年10月24日；录用日期：2012年11月11日摘要：本文通过Carlesonboxes或者Tents的方式定义了实单位球上的Carleson测度，并建立了单位球上非切极大函数、Poisson积分和Carleson测度之间的联系。作为一个应用，我们引入一种与1nR中单位球体上非负测度相关的面积积分算子A，并用Carleson测度和其他方式刻画了这种使得A从pL到或从qLpH到有界的非负测度qL。关键词：面积积分算子；Carleson测度；单位球；单位球面1.引言记复平面中的单位圆盘为，为它的边界。对于任意DDD，集合2:1zDzz表示上一个以D为顶点的锥。当0时，面积积分算子12222d1,1AzAfzDfzzD是从pHD到有界的算子，是上的Lebesgue测度，见[1]。但当pLDdAD0时，此结论不成立，为此，*资助信息：本文得到浙江自然基金(y6100810,y6110824)和国家自然基金(11271162)的资助。Copyright©2013Hanspub56王东方等实单位球上的面积积分算子Cohn在[2]中引入了一类广义面积积分算子G，即：d,1zGffzDz，并得到一个主要结果：G从pHD到有界当且仅当DpL是上的一个Carleson测度，其中D0p。在[3]中，Z.Wu用上的Carleson测度和其他方式刻画了这种使得DG从上的Bergman空间DpAD到pLD的有界性，这里。文献[4]进一步推广了Cohn在文献[2]中的结论，其主要结论是：当时，0,pq0pqG从pHD到有界当且仅当DpL是复圆盘D上的1p11q-Carleson测度；当1时，Gqp从pHD到有界当且仅当pLDpqpqzLDzd1。面积积分算子在调和分析中有很有用，它可以反映非切极大函数、Poisson积分、Tent空间、乘子以及许多算子之间的关联。在以上研究成果的启发下，本文关注于1nR中单位球上的情形。本文中，我们先定义了上的一系列概念，比如：上的Carleson测度、锥、帐篷等；然后在此基础上，我们引入一类与上非负测度BBBB相关的面积积分算子A；最后，我们用Carleson测度和其他方式刻画了这种使得A从到或者从pLqLpH到有界的qL。本文反映了定义在单位球面上的函数空间与Poisson积分、面积积分算子A等之间的密切关系，丰富了上的理论基础，并推广了复分析和实分析中许多经典的技术和结论，具体读者参见文献[5-7]。B在本文中，表示nS1nR中单位球上的球面。对于任意球冠，nS表示它的Lebesgue测度，B1n1nnrSR，x表示一般的欧氏向量模。当nxS时，记,xr为上一nSx表示它的半径。对于个以x为中心、以为半径的球冠，而对于任意常数c，r,cxr表示和,xr同心但半径为其倍的球冠。这里显然，当时，。和c表示正常数，在不同的地方可能表示不同的值。对于任意球冠，定义集合c1cr,ncxrSC:,1z1BrzzSz为基于的Carlesonbox。[8]定义了单位球上的s-Carleson测度，在这里，为了本文研究方便，我们通过Carlesonbox给出下面这种定义形式，即：对于，上的一个非负测度Bs0B被称为s-Carleson测度，如果存在常数C使得sSC对任意球冠都成立。nS对于任意nxS，中以Bx为顶点的锥是集合:,1zxzBxzz。众所周知，对于任意定义在上的可测函数nSf，其Poisson扩张到zB记做211,ddnnnSSnzFzfxpxzxfxxSxz，这里211,nnzpxzSxz是单位球上的Poisson核。B对于定义在上的可测函数nSf和上的一个非负测度B，一类上的广义面积积分算子BA可以定义为Copyright©2013Hanspub57王东方等实单位球上的面积积分算子d,1nnxzAfxFzxSz。本文有如下主要结论：定理1.1设1，pq是单位球上的一个非负测度。那么，B是单位球上的一个B111pq-Carleson测度当且仅当dpnnqqpnLSSAfxxCffLS。(1.1)定理1.2是单位球上的一个非负测度。Ba当1时，p是单位球上的一个Carleson测度当且仅当Bd,pnnpppnLSSAfxxCffLS。(1.2)b对于0，如果是单位球B上的一个Carleson测度，则有11:,nnnLSCxSAfxffLS。定理1.3设，0pq是单位球上的一个非负测度。B是单位球上一个B111pq-Carleson测度，则有d,pnnqqpnHSSAfxxCffHS。定理1.4设1，qp是单位球上的一个非负测度。那么，Bd,pnnqqpnLSSAfxxCffLS当且仅当pqnpqLS，这里d1nxzxz。2.预备知识和若干引理对于任意球冠，集合nS:,1zTzBzz是基于球冠的帐蓬。对于，上的一个非负测度0sB也被称为s-Carleson测度，如果存在常数C使得sTC对任意球冠都成立。不难看出，对于任意球冠，必存在正常数使得nSnSCTSTC，则这种通过帐蓬来定义和通过Carlesonbox来定义的s-Carleson测度是等价的。对于任意，记zB:nzxSzx。不难看出，z是中的一个球冠，且这个球冠是以nSzz为中心、以为1z半径的球冠，我们可以称zz是由点确定的球冠。同时，不难发现，对任意球冠，必存在一点使得znSzB。从而，对任意z，有下面有用估计d1nnxSzzxz。(2.1)对于任意和zB1ngLS，Copyright©2013Hanspub58王东方等实单位球上的面积积分算子1dzTgzgxxz可以看做是g的另一种在单位球上的扩张。B设是单位球上的一个可测函数，那么定义zBsupzxxz是在nxS的非切极大函数。而对于上的可测函数nSf，它的Hardy-littlewood极大函数记做,011supd,,nxrrMfxfyyxSxr。下面几个引理是关于单位球上非切极大函数、上BnSpL函数空间、Hardy-Littlewood极大函数和Carleson测度之间的关系。引理2.1设是单位球面中的一个非空开集，那么必然可以找到一列两两互不相交的球冠EnS123,,,,m，使得1mkkcE和1mkkE，这里的是一个正常数，ck表示与k同心但半径是其3倍的球冠。引理2.2设f是单位球面上可测函数。那么nSa当pnfLS和1p时，Mf是几乎处处有界的；b当1nfLS时，对于任意0，有1:nnLScxSMfxf；c当pnfLS且1p时，那么有pnMfLS和pnpnpLSLSMfAf。引理2.1和引理2.2的证明可参见[7,p.79]中在上半空间的证明方法，这里省略。引理2.3设f是单位球面上可测函数，nSFz是其在单位球上的Poisson扩张。则有B,nFxCMfxxS。证明：对于任意，必存在一个球冠zB,1zzz。表示非负整数，表示比jN11logz小的最大正整数。j表示与同心但半径为其2j倍的球冠，则有01,nSN。此时，对于任意1\jjx，有估计21jxzCz。使用上面的估计，我们有11111\01\011,ddd11dd1221njjjjNnnSjNnnjjjfxzfxzfxpxzxCxxxzxzCfxxCfzzxx。根据上面Hardy-Littlewood极大函数的定义，上式可得,d,nSzfxpxzxCMfzBz。Copyright©2013Hanspub59王东方等实单位球上的面积积分算子对于任意，当zBzz且z时，可推得1xxzzxzCzxzCx对于任意nxS均成立。换句话说，当zz且z时，,nCxxzxS