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第三章行波法与积分变换法本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区域上的波动方程定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，一般应用于无界区域的定界问题，有时也应用于有界域的定解问题.3.1达朗贝尔公式及波的传播在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式.3.1.1达朗贝尔公式如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形式()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=+∞∞−∂∂=∂∂==2.1.3,1.1.30022222xtuxuxxuatuttψϕ一维波动方程是双曲型的方程,所以我们作出如下代换,令⎩⎨⎧−=+=atxatxηξ(3.1.3)利用复合函数求导的规则,有ηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uuxuxuxu22222222ηηξξηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂+∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=∂∂uuuxxuxxuxu同理可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂222222222ηηξξuuuatu将其代入式(3.1.1),得02=∂∂∂ηξu对ξ积分,得()ηηfu=∂∂对此式再关于η积分,得()()()()ηξξηη211dffffu+=+=∫即()()()()5.1.3,21atxfatxftxu−++=其中21,ff是二次连续可微的任意函数,这样,式(3.1.5)可以认为是式(3.1.1)的通解.将初始条件式(3.1.2)代入式(3.1.5)中,有()()()()()()()()⎩⎨⎧=−=+7.1.36.1.3'2'121xxafxafxxfxfψϕ对式(3.1.7)两侧关于x在区间[]x,0上积分()()()()8.1.3d121Caxfxfx0+=−∫ξξψ联立(3.1.6),式(3.1.8),解关于()()xfxf21,的方程,有()()()()()()2d21212d212121CaxxfCaxxfx0x0−−=++=∫∫ξξψϕξξψϕ将()()xfxf21,代入式(3.1.5)中,即得到定解问题的解为()()()[]()()9.1.3d2121,ξξψϕϕ∫+−+−++=atxatxaatxatxtxu式(3.1.9)称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式,由式(3.1.5)知,描述弦的自由振动的方程,其解可以表示成()()atxfatxf++21,之和,通过对他们进一步的分析,我们可以更清楚地看出振动波传播的特点.首先设()atxfu+=11,显然,它是式(3.1.1)的解,当t取不同的值时就可以得到弦在各个时刻的振动状态.0=t时,()()xfxu110,=,它对应的初始时刻的状态,如图3-1虚线所示.经过0t这段时间后,()()0101,atxftxu+=相当于原来的实线图形,向左平移了0at这段距离(如图3-1中实线所示).随着时间t的推移,这个图形将继续向左平移,移动距离为at.这说明当式(3.1.1)的解表示为()()tatxftxu,,11+=时,振动形成的波是以速度a向左传播的.因此,函数()atxf+所描述的振动现象称为左传播波.同样形如()()tatxftxu,,22−=的函数所描述的振动现象称为右传播波.由此可见,达朗贝尔公式表明:弦上的任意扰动,总是以行波的形式分别向两侧传播的,其传播的速度恰是弦振动方程中的常数a基于这种原因,本节所用的方法又称行波法.由达朗贝尔公式式(3.1.5)可见,解在()tx,点的数值仅依赖于初始条件在x轴的区间[]atxatx+−,上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点()tx,的依赖区间,它是过()tx,点分别作斜率为a1±的直线与x轴相交所截得的区间,如图3-2所示.初始时刻0=t时,取x轴上的一个区间[]21,xx,过点1x作斜率为a1的直线atxx+=1,过点2x作一个斜率为a1−的直线atxx−=2,构成一个三角形区域,如图3-3所示.此三角形域中任意一点()tx,的依赖区间到落在[]21,xx的内部,因此,解在此三间形区域中的值完全由初始条件在区间[]21,xx内的值所决定,而与此区间外的初始条件无关,于是这个区域就称为[]21,xx的决定区域,给定区间[]21,xx上的初始条件,就可以在其决定区域内确定初值问题的解.x+at0Ox-at0xy(x,t0)图3-1若过点21,xx分别作直线atxx−=1,atxx+=2则经过时间t后,受区间[]21,xx上初始扰动影响的区域为atxxatx+≤≤−21在此区域外的波动不受[]21,xx上初始扰动的影响,称xt平面上不等式所确定的区域为区间[]21,xx的影响区域.由上述内容可见,在xt平面上,斜率为a1±的两族直线Catx=±(常数)在研究一维波动方程时起着重要的作用,因此这两族直线称为一维波动方程式(3.1.1)的特征线.在特征Oxxxx=x1-atx=x2+att图3-3OX1X2xtx=x1+atx=x2-at图3-2线2Catx=−上,左行波()()tatxftxu,,11+=的振幅取常数值()11Cf,所以波动实际上是沿着特征线传播的,因此行波法又成为特征线法.若初始条件中()0=xψ,则有()()()[]atxatxtxu−++=ϕϕ21,则点()tx,处的状态只是由初始数据ϕ在[]atxatx+−,的两个端点的值唯一确定,它表示初始数据()xϕ以()xϕ21的波形,以速度a分别向左、右传播,这是一种无累积效应(即无后效)的传播.若0)(=xϕ,则∫+−=atxatxatxuξξψd)(21),(点),(tx的状态依赖于初始数据ψ的在整个区间],[atxatx+−上的值,这是一种有累积的效应(即有后效)的传播.3.1.2非齐次方程与齐次化原理当弦的振动受到外力干扰时,定解问题归结为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=+∞−∞+∂∂=∂∂==)11.1.3()(,)()10.1.3()0,(),(0022222xtuxutxtxfxuatuttψϕ此时振动位移可以分为两部分:一部分是只受外力影响的),(txV,另外一部分是由初始形变产生的回复力使弦产生的位移),(txW,即),(),(),(txWtxVtxu+=式中),(txV满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=+∞−∞+∂∂=∂∂==)(,)()0,(),()I(0022222xtWxWtxtxfxVatVttψϕ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂==)(),.(II)(0022222xtWxWxWatWttψϕ问题(II)应用达朗贝尔公式即可解出,而问题(I)则要应用下面的齐次原理求解.定理(齐次化原理):若),,(τtxW是问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂==),(,0)(,22222ττττxftWWtxWatWtt的解,则初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=+∂∂=∂∂==0,0),(0022222tttuutxfxuatu的解为∫=ttxWtxu0d),,(),(ττ由齐次化原理可得问题(I)的解为∫∫−+−−=ttaxtaxfatxV0)()(dd),(21),(τττξτξ因此非齐次方程式(3.1.10)的解为∫∫∫−+−−+−++−++=ttaxtaxatxatxfaaatxatxtxu0)()(dd),(21d)(21)]()([21),(τττξτξξξψϕϕ(3.1.12)3.2延拓法求解半无限长振动问题若振动弦的一端固定在原点,一端无限长,则定解问题归纳为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=+∞∂∂=∂∂===)3.3.3(0)2.2.3()(),()1.2.3()0,0(00022222xttuxtuxutxxuatuψϕ这个问题不能直接用达朗贝尔公式求解.随着时间t的变化,会出现0−atx,而)(xϕ,)(xψ在0x时无定义,因此式(3.1.9)不能使用.为了利用现有结论,我们采用延拓的方法,把问题延拓)0(，−∞上去,这样,我们考虑新的定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=+∞−∞∂∂=∂∂===)6.2.3(0)5.2.3()(),()4.2.3()(00022222xttVxtVxVxxVatVψφ式中,)(),(xxψφ是未知的函数,定义域为),(+∞−∞.当0x时,)()(xxϕφ=.因此,0x时,式(3.2.1)—(3.2.3)与式(3.2.4)—(3.2.6)的解是恒等的,即时,),(),(txutxV=.应用达朗贝尔公式,式(3.2.4)—(3.2.6)的解为∫+−+−++=atxatxaatxatxtxVξξψφφd)(21)]()([21),((3.2.7)由式(3.2.6),有0d)(21)]()([21=+−+∫+−atxatxaatxatξξψφφ满足这个关系式的函数)(),(xxψφ的形式可能有很多种,我们只考虑其中最简单的一种形式,取)(),(xxψφ为奇数,这样我们有⎩⎨⎧−−=⎩⎨⎧−−=0),(0),()(0),(0),()(xxxxxxxxxxϕϕψϕϕφ则当0x时没，我们由式(3.2.17)可以得到式式(3.2.1)—(3.2.3)的解),(txu.0)1(−atx时∫+−+−++=atxatxaatxatxtxuξξψϕϕd)(21)]()([21),(0)2(−atx时∫∫∫∫+−−++−+−−+=−−++−−+=+−++=atxxatatxatxatxatxaxatatxaaxatatxaatxatxtxuξξψϕϕξξϕξξϕϕϕξξψφφd)(21)]()([21d)]([21d)(21)]()([21d)(21)]()([21),(00当边界条件为其他类型时,讨论的方法不变,只是)(),(xxψφ的选择(延拓方式)有变化.若此现象受到外界的干扰,则应考虑定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=+∞+∂∂=∂∂===0)(),()0,0(),(00022222xttuxtuxutxtxfxuatuψϕ同样我们研究延拓后的问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=+∞−∞+∂∂=∂∂===0)(),()0,(),(00022222xttVxtVxVtxtxFxVatVψφ由前述的齐次化原理得出的求解公式(3.1.12),得∫∫∫−+−−+−++−++=ttaxtaxatxatxFaaatxatxtxV0)()(dd),(21d)(21)]()([21),(τττξτξξξψφφ由边界条件0=xV,得∫∫∫−−−−=++−+ttataatatFaatata0)()(0dd),(d)(21)]()([21τττξτξξξψφφ同理,我们由奇函数的性质,可以认为三项都是零,即相当于取⎪⎩⎪⎨⎧−=−−=−Φ−=−Φ),(),()()()()(txFtxFxxxxψψ这样有⎩⎨⎧−−=⎩⎨⎧−−=⎩⎨⎧−−=Φ0),,(0),,(),(0),(0),()(0),(0),()(xtxfxtxftxFxxxxxxxxxxφφψϕϕ当0x时,),(),(txutxV=,所以我们得到0)1(−atx时∫∫∫∫∫∫+−+−−+−−+−++−++=++−Φ++Φ=tatxatxatxatxttaxtaxatxatxfaaatxatxFadaatxatxtxu00)()(dd),(21d)(21)]()([21dd),(21)(21)