代数基本定理的证明方法[1]

第19卷第2期2003年4月德州学院学报JournalofDezhouUniversityVol.19,No.2Apr.2003:2002-12-11;:2003-03-05:(1959),,,,,.:1004-9444(2003)02-0010-06翁东东(泉州师范学院数学系,福建泉州36200):,,CauchyBrouwer,3.:;;Cauchy;;Brouwer:O15:A1引言,LiouvilleRouche[1][2][4].,.Cauchy,,.n!1f(z)=a0zn+a1zn-1+∀an-1z+an(a0#0).1f(z)=b0zm+b1zm+1+∀+bnzm+n,b0#0,m0,b=b0,g=max{b1,b2,∀,bn},|z|bb+g,b1zm+1+∀+bnzm+n|b0z|n.()m=0,b1z+∀+bnznb1z+∀+bnzng(z+∀+zn)|z|bb+g,b1z+∀+bnzngz1-|z|gbb+g1-bb+g=b=b0m=0.m=k,|z|bb+g,b1zk+1+∀+bnzk+nb0|z|km=k+1,b1zk+1+1+∀+bnzk+1+n=|z|b1zk+1+∀+bnzk+n|z|b0|z|k=b0|z|k+1(|z|bb+g),.2f(z)=1+b0zm+b1zm+1+∀+bnzm+n,b0#0,m1,z0,f(z0)p1.z=p(cos+isin),b0=bo(cos+isin).a0,ma0+=,g=max{b1,b2,∀,bn}.1,!0min,1b01m,b|b|+g,f(z)f(z0)b1!0m+1+∀+bn!0m+nbo!0m1z0=!0(cos0+isin0)b0z0m=bo!0mcos(+m0)+isin(+m0)=-bo!0mf(zo)=1-b0!0m+b1z0m+1+∀+bnz0m+n(1)(1)f(z0)1-bo!0m+b1!0m+1+∀+bn!0m+nf(zo)1f(z)=a0z)∃n+a1zn-1+∀+anC,a0#0,n1,f(z0)#0,z0%C,z%C,f(z)f(z0).&f(z)nf(n+1)(z)=f(n+2)(z)=∀=0z=z0+h,f(z0+h)=f(z0)+f∋(z0)h+∀+f(n)(z0)n!hnf(n)(z)=n!a0#0.f∋(z0),f((z0),∀,f(n)(z0).f(m)(z0),(1mn)f(z0+h)=f(z0)+f(m)(z0)m!hm+∀+f(n)(z0)n!hnf(z0+h)f(z0)=1+f(m)(z0)f(z0))hmm!+∀+f(n)(z0)f(z0)hnh,2,h,f(z0+h)f(z0)1,f(z)f(z0)3f(z)=a0zn+a1zn-1+∀+an(a0#0),G0,R0,zR,f(z)G.11第2期翁东东:代数基本定理的证明方法z1,z2(a1+∀+ana0,f(z)a0zn1-a1a21z-∀-ana01zna0zn1-a1a21z-∀-ana01z=a0zn1-a1+∀+ana0za02znR=max2Ga01n,1,2a0+∀+ana0zR,f(z)G..f(z)=a0zn+a1zn-1+∀+an,a0#0,n1.(1)z∋,f(z∋)#0,(z∋,).(2)G0,f(z∋)G.3,R0,zR,f(z)G.(*)(3)z∋R.f(z)zRf(z0)!zR,f(z0)f(z)(**)(2),f(z0)f(z∋)G,f(z0)=0.,f(z0)#0,2,z,f(z)f(z0)G(***)(**):f(z)f(z0)zR.(*)f(z)G,(***).f(z0)=0,f(z)z0.,,CZ,.[1][2][4]LiouvilleRouche..2用Cauchy积分定理证明代数基本定理()f(z)=anzn+an-1zn-1+∀+a1z+a0an#0f(z),f∋(z)f(z)∗R0,CR:z=RCauchy+CRf∋(z)f(z)dz=0limR,−12i+CRf∋(z)f(z)dz=0(*)f∋(z)f(z)=nanzn-1+(n-1)an-1zn-2+∀+a1anzn+an-1zn-1+∀+a1z+a0=12德州学院学报(自然科学版)第19卷n21+n-1n)an-1an)1z+∀+1n)a1an)1zn-11+an-1an)1z+∀+a0an)1zn=n2[1+∀(z)](n1)#(z).,∃=1zn21+n-1n)an-1an)1z+∀+1n)a1an)1zn-11+an-1an)1z+∀+a0an)1zn=n21+n-1n)an-1an)∃+∀+1n)a1an)∃n-1+an-1an)∃+∀+a0an)∃n-an-1an)∃-∀-a0an)∃n1+an-1an)∃+∀+a0an)∃n=n21+(n-1n)an-1an-an-1an)∃+∀+(1n)a1an-a0an)∃n1+an-1an)∃+∀+a0an)∃n#(z)=g(∃)=(n-1n)an-1an-an-1an)∃+∀+(1n)a1an-a0an)∃n1+an-1an)∃+∀+a0an)∃n∃,−1na1a0-1=b()(a0,f(z))∃=−g(∃)#(z)z=0#(z).R,−,+CR%(Z)Zdz2)maxz=R%(Z),012i+CRdzz=1∗limR,−12i+CRf∋(z)f(z)dz=limR,−n2i+CRdzz++CR%(Z)Zdz=limR,−n2i+CRdzz=n(*)n=0,n1.∗n1f(z).3结论&Rn,f:∀&,Rnp%Rn\f(#&),deg(f,&,p)13第2期翁东东:代数基本定理的证明方法,Brouwer.3.1:p%&,deg(I,&,p)=1,I.3.2:&1&2&,p∃f((∀&\(&1.&2)),deg(f,&,p)=deg(f,&1,p)+deg(f,&2,p).3.3:H:[0,1]/∀&,Rn,ht(x)=H(t,x),p∃ht(#&),0t1,deg(ht,&,p)(0t1).Kronecker&%Rn,f:∀&,Rn,p%Rn\f(#&),deg(f,&,p)#0,f(x)=P&.()f(x)=P&,p∃f(#&).p∃f(#∀&).Brouwer(2),&1=&2=%,deg(f,%,p)=0,deg(f,&,p)=0,.T:&,&,x%&,Tx=x,xT.Brouwer[3]:∀&={x0x0R},R0,T:∀&,∀&,T∀&.T#&,.h1(x)=x-tT(x),x%∀&,0t1.∋∃ht(#&),(∋∀&),t0%[0,1]x1%#&,ht0=x1-t0T(x1)=∋(1)t0=0,ht0(x1)=x1=∋∋∀&.(2)t0=1,x1=T(x1)T#&.(3)0t01,0x1-t0T(x1)00x10-t00T(x1)0R-1)R=00∋0=0.∋∃ht(#&).Brouwerdeg(I-T,&,∋)=deg(I,&,∋)deg(I,&,∋)#0,deg(I-T,&,∋)#0Kronecker,I-T&,x*%&,(I-T)(x*)=∋Tx*=x*,T&..,an=1,z=rei∋0∋2.g(z)=z-f(z)/aei(n-1)z1z-f(z)/azn-1z1a=2+a0+∀+an-1.g(z).∀&={z|z|&a},z,g(z)z+f(z)a1+1+a0+∀+an-1+12+a0+∀+an-1=2az1,g(z)z-a0+a1z+∀+an-1zn-1+zn2+a0+∀+an-1(a-1)+a0+∀+an-1aa-1+a-2aa14德州学院学报(自然科学版)第19卷g:∀&,∀&.Bronwer:g&z0,z0-f(z0)/aei(n-1)∋=z0,z01.f(z0)=0,z01z0-f(z0)/azn-1=z0,z01.f(z0)=0,z01.z0,f(z0)=0.:[1]钟玉泉.复变函数论(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1987![2]余家荣.复变函数[M].北京:高等教育出版社,1979![3]张石生.不动点理论及应用[M].重庆:重庆出版社,1984![4]王传荣.复变函数方法[M].厦门:厦门大学出版社,1999!Themethodtoprovethefundamentaltheoremofalgebra.WENGDong-dong(MathematicsDepartmentQuanzhouTeachersCollege,QuanzhouFuJian362000,China)Abstract:Withvariousmethodstoprovethefundamentaltheoremofalgebraanalyzed,thispaperusetheelementarymethod,CauchyintegraltheoremandthetheoremofBrouwersimmovablepointtoprovethefundamentaltheoremofAlgebra.Keywords:algebrafundamenttheorem;elementarymethods;Cauchyintegral;multinomial;Brouwer15第2期翁东东:代数基本定理的证明方法