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【探索规律多边形的内角和】学生已经认识了三角形、平行四边形和梯形，知道三角形的内角和是180°、平行四边形的内角和是360°，还知道四边形有4个角、五边形有5个角……这次探索规律要利用上述的知识经验，研究多边形的内角和问题，得出计算多边形内角和的方法。教材设计了“呈现图形、提出问题”“选择策略、研究个案”“发现规律、建立模型”“反思过程、积累经验”四个活动环节，有条理地安排探索活动的过程。在探索规律的过程中，既研究特殊的图形，更研究一般的图形；既计算具体图形的内角和，也归纳多边形内角和的一般算法；既要个人独立思考，也要小组内的合作交流；既形成知识技能，又有思想与情感方面的体验。把探索活动作为重点，把探索规律的兴趣和创新意识作为主要目的。教材的第一句话“三角形的3个内角和是180°”，提取了一个刚教学的知识。学生知道，由线段围成的平面图形都有角，都有内角和。他们以前只学习了三角形内角和的度数，以及平行四边形内角和的度数，其他多边形的内角和还未知。多边形的内角和可以利用三角形内角和进行计算，所以教材从三角形的内角和180°直接引出“四边形、五边形、六边形等多边形内角和”的问题，不仅形成了研究多边形内角和的课题，而且为解决课题提供了相关的基础知识。探索多边形的内角和从研究四边形开始。给出的四边形是一个直角梯形，要求的是这个梯形的内角和。“萝卜”卡通主张“量出梯形每个角的度数并相加”，这会是许多学生想到的方法。这个梯形有两个角是直角，另两个角分别是40°和140°，这些角的度数容易量出，一般不会有误差，能够得出内角和360°。这是教材呈现直角梯形的原因，教学不必突出这个梯形的特殊性，可以把它视作一般的四边形让学生度量和计算，得到的360°作为一般四边形的内角和。“番茄”卡通把四边形分成两个三角形，使求四边形内角和的问题转化成求两个三角形内角和的问题。这是复杂问题向简单问题的转化，是未知问题向已知问题的转化，是解决多边形内角和问题的一种策略。这种策略不仅能算出四边形的内角和，还能计算更多边形的内角和。独立想到这种方法的学生可能不会很多，应该让全体学生都理解和乐意使用这种方法。其实，把四边形分成两个三角形，把五边形分成三个三角形等活动，在前面教材里曾经安排过，只要把这些经验激活，绝大多数学生会理解这种方法。教学应帮助学生理解四边形的内角和就是分成的两个三角形的内角和，看到每个三角形都有一个角是四边形的角，还有两个角分别与另一个三角形的两个角拼成四边形的角。教材希望把“番茄”卡通解决问题的策略应用到计算五边形、六边形的内角和上，感受这种方法的有效性，从而真正喜欢这种方法。其他多边形也可以像这样通过分一分来计算内角和，教材要求学生小组合作，任意画出一些多边形，求出这些多边形的内角和，充分经历把每个多边形都分成若干个三角形，算出多边形内角和的过程。从中体会：四边形有大有小，形状不完全一样，但内角和都是360°；五边形的内角和都是540°，是三个180°，比四边形的内角和多180°；六边形的内角和都是四个180°，是720°，比五边形的内角和多180°……学生获得这些体验，发现这些规律，需要充分操作、充分思考、充分交流，教学应该为他们提供这些条件。探索规律不仅要算出多边形的内角和，还要概括求多边形内角和的算法，并初步用数学模型来表示。这对深刻认识规律，以及发展数学思考是十分有益的。学生虽然能算出多边形的内角和是多少度，但总结求多边形内角和的算法还是有困难的。为此，教材设计了一张表格，分别把四边形、五边形、六边形、七边形、八边形……的“边数”“分成三角形的个数”“内角和”等数据填进去。其中，四边形、五边形的有关数据在前面的探索活动中已经得出，六边形、七边形、八边形的数据仍然可以通过分图形得到。表格里的数据有序地排列着，能清楚地看到图形的边数越多，分成的三角形个数就越多，内角和的度数也越大。还能看到多边形分成三角形的个数总是比它的边数少2，多边形的内角和必定是180°的倍数。这些发现正如各个小卡通的交流，都是概括多边形内角和计算方法的感性认识。教材明确要求“用一个式子表示多边形内角和的计算方法”。这个式子可以看作计算多边形内角和的数学模型，学生数学思考的力度就在得出这个模型的上面。求多边形内角和的算法如果写成式子可以是“多边形内角和=（多边形边数-2）×180°”，其中“多边形边数-2”的差是多边形分成三角形的个数，适用于求任意多边形内角和的问题。这次探索规律研究多边形内角和的算法，学生的收获不应局限于得出计算多边形内角和的公式，还要在发现规律和表达规律上有所体会。教材要求“回顾探索和发现规律的过程，说说自己的体会”，引导他们体验成功的喜悦，积累探索规律的活动经验。教学应在充分而广泛的交流中，帮助学生总结经验。如，利用三角形内角和180°能计算多边形的内角和，这表明“转化”是一种重要而有效的数学思想，有助于解决新颖的问题或困难的问题。又如，发现的规律不只是自己明白，还要和他人交流，便于别人理解和接受，这就要用数学语言讲述规律或者用数学式子表示规律。再如，我们依次研究四边形、五边形、六边形……的内角和，这就是说，一个较大的问题可以分解成若干个具体的小问题来研究，一个较复杂的问题可以从较简单问题入手来研究。需要说明的是，计算多边形内角和的公式不需要强化记忆，只要有分解成三角形的解题策略就够了。把多边形分成若干个三角形，从三角形的内角和180°推算多边形的内角和，还可以像下面这样进行操作：在多边形内部任意确定一点，与多边形的各个顶点画线段连接，也能把多边形分成三角形。多边形是几边形就能分成几个三角形，这些三角形的内角和的总数就是“180°×三角形的个数”，也就是“180°×多边形的边数”。然而，这些三角形内角和的总数比多边形内角和多360°（以多边形内部那个点为顶点的一个周角）。所以，多边形的内角和=180°×多边形的边数-360°，即“多边形的内角和=180°×（多边形的边数-2）”。