三角形的内角和外角和

1几何解题中添加适当的辅助线可以起到在题设和结论之间架设桥梁的作用，而一题多解对培养发散思维能力十分有益。第三单元三角形的内角和与外角和学法引导1．我们知道，三角形三个内角的和等于180。这个结论的探索过程让我们获得了宝贵的体验，对图形的形状、大小与相互位置关系有了进一步的认识。请结合下列图形，回顾并与同伴交流三角形内角和定理的发现过程：⑴．如右图的折叠，相当于把三角形的三个内角剪下来拼合在一起；⑵．请你剪两张重合的三角形硬纸片，在靠近各顶点处写上字母，再把其中一张三角形硬纸片的三个角剪开。如下图，试试看，你有多少种方法可以拼出∠A+∠B+∠C=180°？有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。由三角形内角和定理可得：直角三角形的两个锐角互余.2．下面让我们来关注一下三角形的外角与和它不相邻的内角的关系。在一张白纸上画出如右图所示的图形，然后把∠A、∠B剪下拼合在一起放到∠ACD上，看到刚好“填满”∠ACD；我们还可以不实际移动，而是依据前面给出的公理、定理和已知条件，通过画辅助线，用推理的方法来证明这些结论的正确性。其实，∵∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACD=∠A+∠B。可见，三角形的一个外角等于两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个内角。3．下面让我们完成下列练习：1．一个三角形中最多有个直角；最多有个钝角；2．一个三角形最少有个内角是锐角；3．一个三角形至少有个角小于或等于60.4．在△ABC中，若∠A+∠B=90°，则△ABC为三角形.若∠A－∠B=90°，则△ABC为三角形.5.等腰三角形的一个外角为100°，则它的三个内角分别是．6．下列说法中①三角形中有一个角为锐角的三角形叫锐角三角形。②△ABC中最大边所对的角是71°，则该三角形是锐角三形。BACCBABCAD2③一个等腰三角形一定是锐角三角形。④一个三角形至少有一个角大于60°。正确的说法有（）.（A）1个．（B）2个．（C）3个．（D）4个．5．已知△ABC中，∠A＝61°，那么△ABC是（）.A．锐角三角形;B．直角三角形;C．钝角三角形;D．以上三种都有可能.7．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC．图中等腰三角形的个数有()（A）1个．（B）3个．（C）4个．（D）5个．8．如图，已知在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC．则△ABC是()（A）任意三角形．（B）等边三角形．（C）等腰三角形．（D）直角三角形．1．如图，点D在BC边的延长线上，若∠A=30°，∠B=35°，则∠1=．2．如图，AB∥CD，∠B=40°，∠D=30°，则∠E=．3．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是．4如图，∠A=30°，∠B=35°，∠C=25°，则∠AFC=．解题指导例1三角形内角和等于180°，那么四边形、五边形、……、n边形的内角和等于几度呢？解：已知三角形内角和等于180°，对于n边形的内角和的问题可以转化为三角形内角和问题来解决──运用化归思想来解决．如图(1)，可以在n边形内任取一点P，将n边形分割成n个三角形，则n边形的内角和＝360180n180)2(n．如图(2)，也可以从n边形任一顶点出发，将n边形分割成）－（2n个三角形，则n边形的内角和180)2(n．如图(3)，也可以从n边形任一边上取一点，连接不相邻的顶点，将n边形分割成）－（1n个三角形，则n边形的内角和180)1(n180180)2(n．当n＝4时，BCDEA题8图ABCDPABCDEPPnA1nA1A3A2A题12图(1)CBAADBCDE1A3A2AnA1nA题12图(2)1ABCDDCBAEDCBAFE321DCBAEF题1图题2图题3图题4图1A3A2AnA1nAPABCDEPPDCBA题12图(3)AEDCB题7图3180)2(n180)24(360；当n＝5时，180)2(n180)25(540．四边形的内角和是360、五边形的内角和是540．另外，利用电脑软件也可测得三角形、四边形、五边形的内角和，从而根据规律得出计算凸n边形的内角和的公式．如图例2我们知道三角形的内角和是180°，那么三角形的外角和（在说三角形的外角和时，是指三角形不同顶点的外角之和）是多少度？n边形的外角和呢？解：方法一：其一在一张白纸上画出如图，把∠4、∠5、∠6剪下来拼在一起，刚好铺成一个无缝的平面，可见∠4＋∠5＋∠6＝360°。其二：如图，由三角形的外角性质可知：∠4=∠2＋∠3；∠5=∠1＋∠3；∠6＝∠1＋∠2。∴∠4＋∠5＋∠6＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°。其三：如图∠1＋∠4=180°∠2＋∠5=180°∠3＋∠6＝180°∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝180°×3＝540°而∠1＋∠2＋∠3＝180°∴∠4＋∠5＋∠6＝360°即:三角形的外角和为360°对于n边形的外角和，可以先填写下表mABC+mBCD+mCDE+mDEA+mEAB=540.00mEAB=73.07mDEA=107.97mCDE=115.52mBCD=131.22mABC=112.22mABC+mBCD+mCDA+mDAB=360.00mDAB=82.72mCDA=91.79mBCD=104.91mABC=80.58mABC+mBCA+mCAB=180.00mCAB=73.98mBCA=64.95mABC=41.07ABCABCDABCDE654321ADC4不妨以五边形为例（如图②），五边形的每一个内角与跟它相邻的外角构成一个平角，即为180°.五边形有5个这样的平角为180°×5＝900°,要求其外角和,还需减去其内角和:(n-2)×180°=(5-2)×180°=540°.∴五边形的外角和为900°-540°=360°.对于n边形,按同样的方法,也同样得到其外角和为360°.真是神奇！方法二：让△ABC逐渐缩小，直至A、B、C三个点重合（如图③）此时，三角形的外角∠4、∠5、∠6合起来，刚好成为一个周角，大小为360°.类似地,你可以把五边形,甚至n边形都缩为一点,想象一下,你发现它的外角和是多少度了吗?方法三：求三角形外角和时,想象一下,当我们在绕三角形花坛行走一周回到出发点时,我们走的方向共经历了三次“转折”,一共转了360°.若是n边形花坛，则共经历了n次“转折”,一共转了360°.不管三角形的形状、大小如何不同，其内角和是180°，其外角和总是360．n边形的外角和也总是360．多边形定义：一般的，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图行称为n边形，又称为多边形。（注意：我们现在研究的多边形均指凸多边形。）例4已知：如下图,点D是ABC内角平分线的交点，点E是ABC外角平分线的交点，用含A的代数式表示D，E.并说明理由.∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB∴∠1=21∠ABC，∠2=21∠ACB∴∠1+∠2=21（∠ABC+∠ACB）=21（180°-∠A）=90°-21∠A∴∠D=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-21∠A）=90°+21∠A∴∠3+∠1=21（∠ABC+∠CBF）=21×180°=90°同理：∠2+∠4=90°，即∠DBE=∠DCE=90°，∴∠E=360°-∠D-∠DBE-∠DCE=360°-90°-90°-（90°+21∠A）=90°-21∠A．例5求证：三角形的内角和等于180°(要求画出图形，写出已知、求证和证明过程).多边形的边数34567……n多边形内角与外角的总和3×180°=540°……多边形的内角和180°……多边形的外角和360°……B4321FEDAGC例1图5解：已知：如图，△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：在BC边上取点D作DE∥AB，DF∥AC∵DE∥AB∴∠3=∠B，∠2=∠4．∵DF∥AC∴∠1=∠C，∠4=∠A．∴∠2=∠A．(等量代换)∵∠1+∠2+∠3=180º(一平角=180º)∴∠A+∠B+∠C=180º(等量代换)例6已知：如图，CMAM,分别平分BCDBAD,．求证：)(21DBM．证明：∵CMAM,分别平分BCDBAD,，∴设DCMBCMDAMBAM,，则MB1（1）MD2（2）（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）（1）+（2）得：MDB2，（等式性质）∴)(21DBM．A组5．如果三角形的一个外角不大于和它相邻的内角，那么这个三角形是()（A）锐角三角形或直角三角形．（B）钝角三角形或锐角三角形．（C）直角三角形或钝角三角形．（D）直角三角形．6．给出下列命题：⑴三角形的一个外角小于它的一个内角．⑵若一个三角形的三个内角之比为1：3：4，它肯定是直角三角形⑶三角形的最小内角不能大于60°⑷三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和其中真命题的个数是()（A）1个．（B）2个．（C）3个．（D）4个．6．直角三角形两锐角的平分线所夹的角是()（A）30°．（B）60°．（C）75°．（D）135°．9．等腰三角形腰上的高与底边的夹角与顶角之间的关系是．11.如图，△ABC中，高线BD、CE相交于点H，若∠A=50°，则∠BHC=．12．如图，已知在△ABC中，AD平分外角∠EAC，BD是∠ABC内任一射线，交AD于D．则∠DAC与∠DBA的大小关系是．三、解答题(分分12410)ABCP12题15图AEDCB题12图HBCDEA题11图21CBDAM例4图4321DECFBA例2图615．已知P是△ABC内一点，连BP、CP．求证：∠BPC=∠1+∠2+∠A．16．求证：两条直线平行，一对同旁内角的角平分线互相垂直．(要求画出图形，写出已知、求证和证明过程).17．如图，C表示灯塔．轮船从A处出发以每小时18海里的速度向正北(AN方向)航行，2时后到达B处．测得C在A的北偏西40°方向，并在B的北偏西80°方向，求B处到灯塔C的距离．例3已知：，D是AB上的一点，E是AC上的一点，DE、CD相交于点F，∠A=62。∠ACD=35。∠ABE=20。。求：(1)∠BDC的度数。(2)∠BFD的度数。◆已知一个多边形的内角和等于外角和的2倍,则这个多边形的边数为_______.习题精选：例1：求八边形内角和的度数。解：（n-2）×180°=(8-2)×180°=1080°例2：已知一个多边形的内角和是2340°，求这个多边形的边数。解：设多边形的边数为n（n-2）×180°=2340°解得：n=15所以，这个多边形的边数为15。例3：一个多边形的外角和是内角和的72，求这个多边形的边数。解：设多边形的边数为n360°=72（n-2）×180°解得：n=9题17图7所以，这个多边形的边数为9。