双筛法的概念及相关性质

双筛法的概念和相关性质摘要：偶数6eN，表为两个奇素数之和的表法个数)(2eNr，是由数轴上关于2/eN对称分布的素数个数决定的。如何确定数轴上关于2/eN对称分布的素数及其个数？是研究哥德巴赫猜想的关键环节。本文阐述解决该问题的重要方法--“双筛法”。关键词：双筛法正筛逆筛筛后剩余对称一，双筛法的概念1，定义：设偶数eN，以不超过eN的素数p为筛元素。从自然数列0，1，2，…，eN中，依次同时划去素数p的倍数np，及其在数轴上关于2/eN对称分布的自然数npNe的方法，称为双筛法。2，相关概念：命名双筛法的缘由（1）不超过eN筛元素p按照是否整除eN分为两个类别。（2）以0为起点，从eN0依次划去筛元素p的倍数np的过程称为正筛；以eN为起点，从0eN依次划去np的对称点npNe的过程称为逆筛。（3）整除eN的筛元素p筛去的元素个数是pNe/；不能整除eN的筛元素p筛去的元素个数是]/[2pNe。（4）双筛法是双向对称筛法。二，筛后剩余元素及若干性质1，按照定义对数列0，1，2，…，eN实施双筛后，所有剩余元素分为两个集合：（1）正筛剩余元素集合Z：pZ,1{|}eeNpN；p是素数。（2）逆筛剩余元素集合Z：pNNZee,1{|}eeNpN；p是素数。（3）正筛剩余元素（大于eN，不超过eN的素数和1）个数：)(eyNs1)()(eeNN；（4）逆筛剩余元素的个数：等于正筛剩余元素的个数。（5）1eN是合数时：双筛后剩余元素全位于区间),(eeeNNN内。（6）1eN是素数时：双筛后剩余元素除“数对”“1和1eN”外，全位于区间),(eeeNNN内。（7）正筛剩余元素与逆筛剩余元素在数轴上，全关于2/eN对称分布。（8）双筛后剩余元素在数轴上，全关于2/eN对称分布。2，若干性质（1）1eN是合数时：偶数eN表为两个奇素数之和，在区间),(eeeNNN上的表法个数),(2eeeNNNr，等于正筛剩余元素集合与逆筛剩余元素集合的，交集元素个数：ZZNNNreee),(2（2）1eN是素数时：偶数eN表为两个奇素数之和，在区间),(eeeNNN上的表法个数),(2eeeNNNr，等于正筛剩余元素集合与逆筛剩余元素集合的，交集元素个数减2：2)(),(2ZZNNNreee（3）区间),0(eN上，关于2/eN对称分布的不超过eN且与eN互素的奇素数倍数元素的个数：1),(1),(212121]/)([)(ieieeiipNpNNppiieeppNNc（4）设：eNpp21；1),(1pNe；1),(2pNe。不定方程eNypxp21在遍历所有符号条件的素数1p、2p时的，无重复奇数解个数是：)(2eNc。1),(1),(2212121]/)([)()(ieieeiipNpNNppiieeeppNNcNc二，偶数6eN表为两个奇素数之和，在不同条件下，区间),(eeeNNN上的表法个数真值函数),(2eeeNNNr（1）1eN是合数；2/eN是合数：)()]()([2),(2e2eeeyeeNNcNsNNNr（2）1eN是素数；2/eN是合数：)(]1)()([2),(22eeeyeeeNNcNsNNNr（3）1eN是合数；2/eN是素数：1)()]()([2),(22eeeyeeeNNcNsNNNr（4）1eN是素数；2/eN是素数：]1)([)]()([2),(22eeeyeeeNNcNsNNNr（5）偶数eN存在一个大于eN的素因子时，在),(2eeeNNNr表达式中的)(eN，取2)()(eeNN。四，几个实例16eN(16)=16(1-1/2)=8个，其中)(eyNs1)()(eeNN5126正筛剩余5个：1,5,7,11，13；逆筛剩余5个：15,11,9,5，3；交集ZZ=（5，11）)()]()([2),(22eeeyeeeNNcNsNNNr28)05(222eN(22)=22(1-1/2)(1-1/11)=10，其中)(eyNs1)()(eeNN7128正筛剩余5个：1,5,7,11，13，17，19；逆筛剩余5个：21,17，15，11，9,5，3；交集ZZ=（5，11，17），22eN存在一个素因子22111)()]()([2),(22eeeyeeeNNcNsNNNr31)210()07(232eN(32)=32(1-1/2)=16个，其中)(eyNs1)()(eeNN91311正筛剩余9个：1,7,11,13,17,19,23,29,31；逆筛剩余9个：31,25,21,19,15,13,9,3,1；交集ZZ=（1，11，19，31）3x+5y=32，奇数解个数[32/30]=1，32=27+5)(]1)()([2),(22eeeyeeeNNcNsNNNr216)119(238eN(38)=38(1-1/2)(1-1/19)=18个，其中)(eyNs1)()(eeNN10正筛剩余10个：1,7,11,13,17,19,23,29,31,37；逆筛剩余10个：37,31,27,25,21,19,15,9,7,1；交集ZZ=（1，7,19，31,37），38eN存在一个素因子38193x+5y=38，奇数解个数[38/30]=2，38=3+35=5+33；]1)([)]()([2),(22eeeyeeeNNcNsNNNr3)1218()210(2；54eN(54)=54(1-1/2)(1-1/3)=18，其中)(eyNs1)()(eeNN13正筛剩余13个：1,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53；逆筛剩余13个：53,43,41,37,35,31,25,23,17,13,11,7,1；交集ZZ=（1，11,13,17,23,31,37,41,43,53)5x+7y=54，奇数解个数[54/70]=1，54=5+49)(]1)()([2),(22eeeyeeeNNcNsNNNr818)1113(264eN(64)=64(1-1/2)=32个，其中)(eyNs1)()(eeNN151418正筛剩余15个：1,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61；逆筛剩余15个：63,53,51,47,45,41,35,33,27,23,21,17,11,5,3；交集ZZ=（11，17，23，41，47，53）[64/30]=2，[64/42]=2，[64/70]=0，64=9+55=25+39=7+57=49+15)()]()([2),(22eeeyeeeNNcNsNNNr632)415(276eN(76)=76(1-1/2)(1-1/19)=36个，其中)(eyNs1)()(eeNN181421正筛剩余18个：1,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,逆筛剩余18个：75,65,63,59,57,53,47,45,39,35,33,29,23,17,15,9,5,3,交集ZZ=（17，23，29，47，53，59），76eN存在一个素因子7619[76/30]=2，[76/42]=2，[76/70]=1，76=25+51=21+55=27+49=7+69=21+55)()]()([2),(22eeeyeeeNNcNsNNNr6)236()418(2128eN(128)=128(1-1/2)=64个，其中)(eyNs271531正筛剩余27个1,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127逆筛剩余27个127,115,111,109,105,99,97,91,87,85,81,75,69,67,61,57,55,49,45,39,31,27,25,21,19,15,1；128=19+109=31+97=61+67交集ZZ=（1，19，31，61，67，97，109，127）[128/30]=5，[128/42]=3，[128/66]=2，[128/70]=1，[128/110]=1，[128/154]=1128=3+125=33+95=63+65=93+35=123+5=9+119=51+77=93+35，=51+77，=117+11=65+63，=95+33，=7+121)(2eNc9个；13)(2eNc个，有4个重复。)(]1)()([2),(22eeeyeeeNNcNsNNNr664)1927(2参考文献：1初等数论：潘承洞潘承彪著1997,6月北京大学出版社2组合数学：屈婉玲著1997，9月北京大学出版社3王元论哥德巴赫猜想：李文林1999,9月山东教育出版社4数学与猜想一，二卷：G·波利亚2001,7月科学出版社5数论导引：G·H·Hardy，E·M·Wright2008,10人民邮电出版社6华罗庚文集：（数论卷二）2010,5月科学出版社7代数数论：冯克勤著2000,7月科学出版社8超常偶数及其性质2017,4月百度文库