6.3泰勒公式

《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用3§6.3泰勒公式教学章节：第六章微分中值定理及其应用——§6.3泰勒公式教学目标：掌握Taylor公式,并能应用它解决一些有关的问题.教学要求：（1）深刻理解Taylor定理,掌握Taylor公式,熟悉两种不同余项的Taylor公式及其之间的差异；（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式,并能加以应用.（3）会用带Taylor型余项的Taylor公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo余项的Taylor公式求某些函数的极限.教学重点：Taylor公式教学难点：Taylor定理的证明及应用.教学方法：系统讲授法.教学过程：引言不论在近似计算或理论分析中,我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数,这将会带来很大的方便.一般来说,最简单的是多项式,因为多项式是关于变量加、减、乘的运算,但是,怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？上一节中,讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道,如果函数f在点0x可导,则有有限存在公式；0000()()()()0()fxfxfxxxxx即在0x附近,用一次多项式1000()()()()pxfxfxxx逼近函数f(x)时,其误差为00()xx.然而,在很大场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近,并要求误差为00()xx,其中n为多项式次数.为此,有如下的n次多项式：0100()()()nnnpxaaxxaxx易见：00()napx,01()1!npxa,02()2!npxa,…,()0()!nnnpxan（多项式的系数由其各阶导数在0x的取值唯一确定）.对于一般的函数,设它在0x点存在直到n阶导数,由这些导数构造一个n次多项式如下：《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用4()00000()()()()()()1!!nnnfxfxTxfxxxxxn称为函数f在点0x处泰勒多项式,()nTx的各项函数,()0()!kfxk（k＝1,2,…,n）称为泰勒系数.问题当用泰勒多项式逼近f(x)时,其误差为0()()0(())nnfxTxxx一、带有皮亚诺余项的泰勒公式定理1若函数f在点0x存在直至n阶导数,则有0()()0(())nnfxTxxx,即()000000()()()()()()0(())1!!nnnfxfxfxfxxxxxxxn即函数f在点0x处的泰勒公式；()()()nnRxfxTx称为泰勒公式的余项.证明设()()()nnRxfxTx,naxxG)()(.应用LHospital法则1n次,并注意到)()(afn存在,就有)()(lim)()(lim)1()1(00xGxRxGxRnnnaxnax)(2)1())(()()(lim)()1()1(axnnaxafafxfnnnax=0)()()(lim!1)()1()1(afaxafxfnnnnax.称nnaxxR)()(为Taylor公式的Peano型余项,相应的Maclaurin公式的Peano型余项为)()(nnxxR.并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式(或Maclaurin公式).注1、若f(x)在点0x附近函数满足0()()0(())nnfxPxxx,其中0100()()()nnnpxaaxxaxx,这并不意味着()npx必定是f的泰勒多项式()nTx.但()npx并非f(x)的泰勒多项式()nTx.（因为除(0)0f外,f在x＝0出不再存在其它等于一阶的导数.）；注2、满足条件0()()0(())nnfxPxxx的n次逼近多项式()npx是唯一的.由此可知,当f满足定理1的条件时,满足要求0()()0(())nnfxPxxx的多项式()npx一定是f在0x点的泰勒多项式()nTx；注3、泰勒公式0x＝0的特殊情形――麦克劳林（Maclauyin）公式：《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用5()(0)(0)()(0)0()1!!nnnfffxfxxxn引申定理1给出了用泰勒多项式来代替函数y＝f(x)时余项大小的一种估计,但这种估计只告诉我们当0xx时,误差是较0()nxx高阶的无穷小量,这是一种“定性”的说法,并未从“量”上加以描述；换言之,当点给定时,相应的误差到底有多大？这从带Peano余项的泰勒公式上看不出来.为此,我们有有必要余项作深入的讨论,以便得到一个易于计算或估计误差的形式.二、带有Lagrange型余项的Taylor公式定理2（泰勒）若函数f在[a,b]上存在直到n阶的连续导函数,在(a,b)内存在n＋1阶导函数,则对任意给定的0,[,]xxab,至少存在一点(,)ab使得：()(1)1000000()()()()()()()()1!!(1)!nnnnfxfxffxfxxxxxxxnn（1）证明记()()()nnRxfxTx,要证(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn,记10()()nnQxxx,不妨设0xx,则(),()nnRxQx在0[,]xb上有直到n阶的连续导数,在0(,)xb内存在1n阶导数,又因为()000()()()0nnnnRxRxRx,()000()()()0nnnnQxQxQx.故在区间0[,]xx上连续运用Cauchy中值定理1n次,就有010010()()()()()()()()()()()()nnnnnnnnnnnnRxRxRxRRRxQxQxQxQQQx()()(1)20()()(1)02()()()()()()()()nnnnnnnnnnnnnnnnRRRxRQQxQQ,其中,011nnxx,(1)(1)()()nnnRf,(1)()(1)!nnQn,从而得到《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用6(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn,（2）介于0x与x之间.注1、当n＝0时,泰勒公式即为拉格朗日公式,所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶导数方向的推广；2、当00x时,则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式()(1)1(0)(0)()()(0)1!!(1)!nnnnfffxfxfxxxnn(0,1)称这种形式的余项)(xRn为Lagrange型余项.并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Lagrange型余项的Taylor公式.Lagrange型余项还可写为,)()!1())(()(1)1(nnnaxnaxafxR)1,0(.0a时,称上述Taylor公式为Maclaurin公式,此时余项常写为,)()!1(1)(1)1(nnnxxfnxR10.三、函数的Taylor公式(或Maclaurin公式)展开(一)直接展开例1求xexf)(的Maclaurin公式.解)10(,)!1(!!2!1112nxnxxnenxxxe.例2求xxfsin)(的Maclaurin公式.解)()!12()1(!5!3sin212153xRmxxxxxmmm,《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用710,)21(sin)!12()(122mxmxxRmm.例3求函数)1ln()(xxf的具Peano型余项的Maclaurin公式.解)!1()1()0(,)1()!1()1()(1)(1)(nfxnxfnnnnn.)()1(32)1ln(132nnnxnxxxxx.例4把函数tgxxf)(展开成含5x项的具Peano型余项的Maclaurin公式.(教材P179E5,留为阅读.)(二)间接展开利用已知的展开式,施行代数运算或变量代换,求新的展开式.例5把函数2sin)(xxf展开成含14x项的具Peano型余项的Maclaurin公式.解)(!7!5!3sin7753xxxxxx,)(!7!5!3sin141410622xxxxxx.例6把函数xxf2cos)(展开成含6x项的具Peano型余项的Maclaurin公式.解)(!6!4!21cos6642xxxxx,),(!62!34212cos66642xxxxx注意,0),()(kxkx)(!62!321)2cos1(21cos665422xxxxxx.例7先把函数xxf11)(展开成具Peano型余项的Maclaurin公式.利用得到的展开式,把函数xxg531)(在点20x展开成具Peano型余项的Taylor公式.解,)1(!)1(1)(nnnxnf!)1()0()(nfnn.);()1(1)(32nnnxxxxxxf《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用813)2(511131)2(5131531)(xxxxg=nnnxxx)2()135()1()2()135()2(135113122+.)2(nx例8把函数shx展开成具Peano型余项的Maclaurin公式,并与xsin的相应展开式进行比较.解),(!!2!112nnxxnxxxe)(!)1(!2!112nnnxxnxxxe;)()!12(!5!32121253mmxxxmxxxxeeshx.而)()!12()1(!5!3sin1212153mmmxmxxxxx.四、常见的Maclaurin公式(一)带Penno余项的Maclaurin公式210()2!!nxnxxexxn352112sin(1)0()3!5!(21)!mmmxxxxxxm24221cos1(1)0()2!4!(2)!mmmxxxxxm231ln(1)(1)0()23nnnxxxxxxn2(1)(1)(1)(1)10()2!!nnxxxxn2110()1nnxxxxx(二)带Lagrange型余项的Maclaurin公式《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用92112!!(1)!nxxnxxeexxnnxR,(0,1)3521121cossin(1)(1)3!5!(21)!(21)!mmmmxxxxxxxmmxR,(0,1)242122coscos1(1)(1)2!4!(2)!(22)!mmmmxxxxxxmmxR,(0,1)23111ln(1)(1)(1)23(1)(1)nnnnnxxxxxxnnx1x,(0,1)2(1)(1)(1)(1)12!!nnxxxxn11(1)()(1)!nnnxxn1x,(0,1)122111(1)nnnxxxxxx1x,(0,1)五、常见的Maclaurin公式的初步应用(一)证明e是无理数例9证明e是无理数.证明把xe展开成具Lagrange型余项的Maclaurin公式,有10,)!1(!1!31!2111