§3.5-柯西积分公式-(学生看)

1§3.5柯西积分公式教学过程：【引入】设()fz在在单连通区域D内解析，简单闭曲线000:(0)Czz在D内.由柯西积分定理，=()0Cfzdz.考虑积分0()CfzIdzzz,由于被积函数0()fzzz在D内有不解析点0z，则积分I的值不一定为零.1）当()1fz时，2Ii.2）当()fz为解析函数时，由复合闭路定理知在C内任意作圆00:(0)Czz.则00()()CCfzfzdzdzzzzz.上式对满足条件00的任何都成立.（积分与半径的大小无关），请思考积分与哪个量有关呢？猜想：I的值是否与()fz在0z点的值有关？（由§3.1知光滑曲线上的连续函数的积分存在.）【定理3.7】（柯西积分公式）设函数()fz在区域D内解析，C为D内的任意一条正向简单2闭曲线，C的内部仍在D内，设0z是C内任意一点，则001()()2Cfzfzdzizz-------柯西积分公式（3.10）也可以写为00()2()Cfzdzifzzz说明：此公式称为解析函数的积分表示,它表明解析函数在区域内任一点的值可以用它沿区域边界的积分值来表示.（如图3.15）分析：由复合闭路原理可知00()()CCfzfzdzdzzzzz，其中0:Czz，是可任意小的正数且C在C内，因此000()()limCCfzfzdzdzzzzz．即柯西积分公式成立只须证000()lim2()Cfzdzifzzz即可．0000()()()()CCfzffzdzdzzzzfzzz0000()()1()CCfzfzdzfdzzzzzz300()()22Cfzfzdzzz.证明任意固定点0zD,显然0()fzzz在D内除0zz外是解析的.以0z为心,充分小的0为半径作闭圆盘,使得此闭圆盘仍含于D,记闭圆盘的边界为圆周C,从而0()fzzz在复合闭路CC所围成的区域内解析,在所围成的闭区域上连续.于是由复合闭路原理得00()()CCfzfzdzdzzzzz.由于()fz在0z处解析，所以()fz在0z连续，则对于0，0，使得当0zz时，有0()()fzfz.由此0000()()()()CCfzffzdzdzzzzfzzz0000()()1()CCfzfzfzdzdzzzzz，而0001()2()Cfzdzifzzz，400()()22Cfzfzdzzz，所以00()2()2Cfzdzifzzz，000()lim2()Cfzdzifzzz，所以0000()()lim2()CCfzfzdzdzifzzzzz,故定理得证.思考题:在柯西积分公式的条件下,若0zD,则01()?2Cfzdzizz【结论】柯西积分公式说明，在简单闭曲线C内部解析的函数，若在C上连续，则函数在C内部的值完全由它在C上积分的值所决定.例1计算积分(1)22(9)()zzdzzzi.解(1)令2()9zfzz则()fz在闭圆盘2z上解析，函数()fzzi在2z上只有不解析点zi.5由柯西积分公式与复合闭路定理知22229(9)()()zzzzzdzdzzzizi2139()zizzdzzi【此步可以不写】2295ziziz.【注：使用柯西积分公式注意】只有当()fz在给定闭曲线C围成的区域D内仅有一个不解析点z，且分母是z的一次式时,才可直接使用.(2)2314zdzz.解因函数21()4fzz的不解析点2z,在3z内，分别作圆周11:22Cz,21:22Cz,由复合闭路原理及柯西积分公式6222312111444zCCdzdzdzzzz12112222CCzzdzdzzz221122022zziizz.另解（简洁的解法）：2223112222111444zzzdzdzdzzzz112222112222zzzzdzdzzz221122022zziizz.（3）2sinzzdzz.解：()sinfzz在2z上解析，因为()fzz的不解析点0z在2z内，所以02sin2sin0zzzdzizz.7（注意：积分值为零并不代表被积函数一定解析）（4）22sin41zzdzz.解22sin41zzdzz111122sinsin441111zzzzzzdzdzzz11sinsin442(||)211zzzziizz.说明：当被积函数在围线的内部含有多个不解析点时，一般可先用挖洞的方法，利用复合闭路原理将积分转化为其内部只有被积函数的一个不解析点的各个小围线的积分和，然后再用柯西积分公式.（下面内容选学）【推论1】(解析函数的平均值公式)若函数()fz在圆域0zzR内解析,在闭圆盘0zzR上连续,则20001()(Re)2ifzfzd即()fz在圆心0z的值等于它在圆周上的值的算术平均值.（如图3.16）上述定理为柯西积分公式的特例，它反映了解析函数在圆心处的值与它在圆周上的取值的关系.8证：圆周0zzR的参数方程为:0Reizz,(02),则由柯西积分公式及复积分的参数方程公式即2000(e)1()1e22eiiiCfzRfzdzRidizziR2001(e)2ifzRd，故结论成立.【推论2】设()fz在由简单闭曲线1C、2C所围成的二连域D内解析，2C在1C的内部，()fz在12DDCC上连续；0z为D内一点，则012001()1()()22CCfzfzfzdzdzizzizz，其中z在C的内部.（12CCC.由平均值公式可以推出解析函数的一个重要性质，即解析函数的最大模原理.此定理说明解析函数的模在区域内任何一点都不能达到最大值，除非函数恒为常数.【定理3.8】（最大模原理）设函数()fz在区域D内解析，又函数()fz不是常数，则在D内()fz没有最大值.(换言之：函数()fz在区域D内解析,9若()fz在区域D内能达到最大值,则()fz在区域D内恒为常数).（如图4.14）说明：最大模原理是复变函数的重要定理，它在流体力学上反映了平面稳定流动在无源无旋区域内流速最大值不能在区域内达到，而只能在边界上达到，除非它是等速流动.最大模与最小模原理是解析函数论中重要定理之一.【推论1】在区域D内解析的函数()fz，若其模在D的内点达到最大值，则此函数()fz必恒为常数.【推论2】若函数()fz在有界区域D内解析，在D上连续，则()fz必在D的边界上达到最大值.小结：1.柯西积分公式是复积分计算的重要公式，在运用时要弄清积分区域,弄清谁是公式中的()fz,被积函数的奇点是否在积分区域内.2.最大模原理作用可以用来研究复函数模的取值特征，运用时注意条件是否满足.存在问题：利用柯西积分公式计算复积分时，没有弄清谁是()fz，忽略讨论被积函数奇点是否在积分区域内.作业：1007(1)(8);8(1),(2)*,(3),(4),(5)*P（第三章习题）10§3.5独立作业:计算下列积分（1）223zzdzzi;（2）22(5)()zzdzzzi；（3）1coszzdzz；（4）2zzedzzi.(5)21Cdzz，其中C是不经过原点的封闭曲线.