可积条件

第九章第三节第1页§3可积条件教学目的：掌握可积判别准则及可积函数类。重点难点：重点为可积性判别,难点为可积函数类的证明。教学方法：讲练结合。一可积的必要条件定理9．2若函数f在ba,上可积，则f在ba,上必定有界．证用反证法．若f在ba,上无界，则对于ba,的任一分割T，必存在属于T的某个小区间kkxfx在,上无界．在ki各个小区间i上任意取定i，并记.ikiixfG现对任意大的正数M，由于f在k上无界，故存在kk，使得.kkxGMf于是有ikiikkiniixfxfxf1MGxxGMkk由此可见，对于无论多小的T，按上述方法选取点集i时，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，这与f在ba,上可积相矛盾．口注:有界函数不一定可积。例1证明狄利克雷函数xxxD,0,1为无理数为有理数在10，上有界但不可积．证显然.1,0,1xxD对于10，的任一分割T，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T的任一小区间i上，当取i全为有理数时，111niiiniixxD；当取i全为无理数时，第九章第三节第2页01iniixD．所以不论T多么小，只要点集i取法不同(全取有理数或全取无理数)，积分和有不同极限，即xD在10，上不可积．口由此可见，有界是可积的必要条件．以后讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的．二可积的充要条件要判断一个函数是否可积，固然可以根据定义，直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知，因此这是极其困难的．下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值．设niTi,,2,1为对ba,的任一分割．由f在ba,上有界，它在每个i上存在上、下确界：.,,2,1,inf,supnixfmxfMiixixi作和,,11ininiiiixmTsxMTS分别称为f关于分割T的上和与下和(或称达布上和与达布下和，统称达布和)．任给,,,2,1,niii，显然有.1niiiTSxfTs与积分和相比较，达布和只与分割T有关，而与点集i无关．由不等式(1)，就能通过讨论上和与下和当0T时的极限来揭示f在ba,上是否可积．所以，可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的．定理9．3(可积准则)函数f在ba,上可积的充要条件是：任给0,总存在相应的一个分割T，使得TsTS设iiimM称为f在i上的振幅，有必要时也记为fi。由于S()－Tsnii1i(或记为iTix)，因此可积准则又可改述如下：定理3.9，函数f在ba,上可积的充要条件是：任给0，总存在相应的某一第九章第三节第3页分割T，使得iTix几何意义是：若f在ba,上可积，则包围曲线yxf的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分地细；反之亦然．三可积函数类根据可积的充要条件，我们证明下面一些类型的函数是可积的(即可积的充分条件)．定理9．4若f为ba,上的连续函数，则f在ba,上可积．证由于f在闭区间ba,上连续，因此在ba,上一致连续．这就是说，任给0，存在0，对ba,中任意两点x`x，只要xx，便有abxfxf所以只要对ba,所作的分割T满足T，在丁所属的任一小区间i上，就能使f的振幅满足abxfxfmMiiisup从而导致TiiTixab由定理3.9，证得f在ba,上可积．应该注意到一致连续性在本定理证明中所起的重要作用．定理9．5若f是区间ba,上只有有限个间断点的有界函数，则f在ba,上可积．，证不失一般性，这里只证明f在ba,上仅有一个间断点的情形，并设该间断点即为端点b．任给0，取，满足mM20，且ab，其中M与m分别为f在ba,上的上确界与下确界(设Mm，否则f为常量函数，显然可积)．记f在小区间bb,上的振幅为，则22mMmM因为f在ba,上连续，由定理9．4知f在ba,上可积．再由定理9．3，(必第九章第三节第4页要性)，存在对ba,的某个分割121,,,nT，使得2iTix令n，则121,,,nT是对ba,的一个分割，对于T，有.22iTiiTixx根据定理9．3，(充分性)，证得f在ba,上可积．口定理9．6若f是ba,上的单调函数，则f在ba,上可积．证设f为增函数，且,,bfafafaf若，则f为常量函数，显然可积．对ba,的任一分割T，由f的增性，f在T所属的每个小区间i上的振幅为,1iiixfxf于是有TxfxfxniiiiTi11.Tbfaf由此可见，任给0，只要,bfafT这时就有,iTix所以f在ba,上可积．注意，单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性．例2试用两种方法证明函数,2,1,111,1,0,0nnxnnxxf在区间1,0上可积．证[证法一]由于f是一增函数，虽然它在1,0上有无限多个间断点,,3,2,1nnxn但由定理第九章第三节第5页9．5，仍保证它在1,0上可积．口[证法二](仅利用定理9．3，和定理9．5)任给0，由于01limnn，因此当n充分大时21n，这说明f在1,2上只有有限个间断点．利用定理9．5和定理9．3，推知f在1,2上可积，且存在对1,2的某一分割T，使得2iTix在把小区间2,0与T合并,成为对1,0的一个分割T.由于f在2,0上的振幅10，因此得到2220iTiiTixx所以f在1,0上可积．口例3证明黎曼函数内的无理数以及互素1,01,0,0,,,,,1xpqqpqpxqxf在区间1,0上可积，且010dxxf分析已知黎曼函数在1,0x以及一切无理点处连续，而在1,0内的一切有理点处间断．证明它在1,0上可积的直观构思如下：在黎曼函数的图象中画一条水平直线2y,在此直线上方只有函数图象中有限个点，这些点所对应的自变量可被含于属于分割T的有限个小区间中，当T足够小时,这有限个小区间的总长可为任意小;而T中其余小区间上函数的振幅不大于2,把这两部分相合,便可证得2iTix.作业:1,2