数列知识点及常用结论

1数列知识点及常用结论一、等差数列（1）等差数列的基本公式①通项公式：1(1)naand（从第1项1a开始为等差）()nmaanmd（从第m项ma开始为等差）()nmnmnmaandaanmdaadnm②前n项和公式：11()(1)22nnnaannSnad（2）证明等差数列的法方①定义法：对任意的n，都有1nnaad（d为常数）{}na为等差数列②等差中项法：122nnnaaa（n*N）{}na为等差数列③通项公式法：na=pn+q(p，q为常数且p≠0){}na为等差数列即：通项公式位n的一次函数，公差dp，首项1apq④前n项和公式法：2nSpnqn(p，q为常数){}na为等差数列即：关于n的不含常数项的二次函数（3）常用结论①若数列{}na，{}nb为等差数列，则数列{}nak，{}nka，{}nnab，{}nkab(k，b为非零常数)均为等差数列.②若m+n=p+q(m，n，p，q*N)，则nmaa=pqaa.特别的，当n+m=2k时，得nmaa=2ka③在等差数列{}na中，每隔k(k*N)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：1a，4a，7a，10a仍为公差为3d的等差数列)2④若数列{}na为等差数列，则记12kkSaaa，2122kkkkkSSaaa，3221223kkkkkSSaaa，则kS，2kkSS，32kkSS仍成等差数列，且公差为2kd⑤若nS为等差数列{}na的前n项和，则数列{}nSn也为等差数列.⑥11,(1),(2)nnnSnaSSn此性质对任何一种数列都适用⑦求nS最值的方法：I:若1a0，公差d0，则当100kkaa时，则nS有最大值,且kS最大；若1a0，公差d0，则当100kkaa时，则nS有最小值，且kS最小；II：求前n项和2nSpnqn的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k，当nk时，kS为最值，是最大或最小，通过nS的开口来判断。二、等比数列（1）等比数列的基本公式①通项公式：11nnaaq（从第1项1a开始为等比）nmnmaaq（从第m项ma开始为等差）②前n项和公式：1(1),(1)1nnaqSqq，1,(1)nSnaq（2）证明等比数列的法方①定义法：对任意的n，都有1(0)nnnaqaa1nnaqa(q0){}na为等比数列②等比中项法：211nnnaaa（11nnaa0）{}na为等比数列③通项公式法：1(,0nnaaqaq是不为的常数){}na为等比数列3（3）常用结论①若数列{}na，{}nb为等比数列，则数列1{}na，{}nka，2{}na，21{}na，{}nnab{}nnab(k为非零常数)均为等比数列.②若m+n=p+q(m，n，p，q*N)，则nmaa=pqaa.特别的，当n+m=2k时，得nmaa=2ka③在等比数列{}na中，每隔k(k*N)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为1kq(例如：1a，4a，7a，10a仍为公比3q的等比数列)④若数列{}na为等差数列，则记12kkSaaa，2122kkkkkSSaaa，3221223kkkkkSSaaa，则kS，2kkSS，32kkSS仍成等比数列，且公差为kq4三、求任意数列通项公式na的方法（1）累加法：若na满足an+1=an+f(n)利用累加法求：na12132431()()()()nnnaaaaaaaaaa例题：若11a，且12nnaan，求：na练习题：若数列na满足1120nnnaa，且10a5（2）累乘法：若na满足1()nnafna利用累乘法求：na32411231()()()()nnnaaaaaaaaaa例题：在数列{an}中，1111,2nnnaaan，求：na.练习题：在数列{an}中，11a且1nnana，求：na（提示：123......!nn）6（3）递推公式中既有nS，又有na，用逐差法11nnnSaSS　　　n=1　n2特别注意：该公式对一切数列都成立。7（4）若na满足1,()nnapaqpq，则两边加：1qxp，在提公因式P，构造出一个等比数列，再出求：na例题：已知数列{}na，满足：121nnaa，且11a，求：na习题1：已知数列na满足：131nnaa且11a，求：na习题2：已知数列na满足：12a，且nnSan，求：na8（5）若na满足1nknnapap，则两边同时除以：1np，构造出一个等差数列，再求出：na例题：已知na满足：11a1122nnnaa，求：na解：111122222nnnnnnnaaaa，既有：11222nnnnaa所以：2nna是首项为：1122a，公差12d的等差数列11(1)2222nnann所以：1222nnnnan习题1：已知1133nnnaa且11a，求：na习题2：已知11232nnnaa且11a，求：na9（六）待定系数法：若na满足以下关系：1nnakafn都可用待定系数法转变成一个等比数列来：温馨提示：提k，对()fn待定系数例题1：已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式.解：11152(5)235nnnnnnnaxaxaax，与原式对应得，1x1111552(5)25nnnnnnnnaaaa所以：5nna是首项1151a，公比2q的等比数列既有：115252nnnnnnaa例题2：已知数列{}na满足1135241nnnaaa，，求数列{}na的通项公式.解：11123(2)322nnnnnnnaxyaxyaaxy，与原式对应得：5,2xy11115225223(522)3522nnnnnnnnaaaa所以：522nna是首项为：1152213a，公比3q的等比数列既有：11522133133522nnnnnnaa10（七）颠倒法：若na满足：1nnnCaaaC，用颠倒法；11111nnnnnnnnnnCaaCaCaaCaCaCaCaCa所以：1111nnaaC，所以：1{}na是以首项为：11a，公差1dC的等差数列例题1：已知122nnnaaa，且12a，求：na例题2：已知1133nnnnaaaa，且11a，求：na11（八）倒数换元法：若数列na满足：1nnnAaaBaC，则颠倒变成111nnnnBaCCBaAaAaA然后再用两边加：1qp或者待定系数法既可求出1na，再颠倒就可得到：na例题：若数列na满足：123nnnaaa，且11a，求：na解：1121311322nnnnnaaaaa，两边加：1得：11313122nnaa111113131(1)1221nnnnaaaa，所以：11na是首项为：1112a，公比：32q的等比数列；既有：122121213132212()2232nnnnnnnnnnaaa若用待定系数法：11121311131()3222nnnnnnnaaxxaaaaa11131313112222nnnnxxxaaaa与原式子对应得1x，然后的方法同上；习题：已知1132nnnnaaaa且11a，求：na12四、求前n项和Sn的方法（1）错位相减求和主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前n项和；或者是等差与等比的商的前n项和；（是商的时候，适当转变一下就变成了乘积形式）。既：设na为等差数列，nb为等比数列，求：nnab或nnab的前n项和常用此方法（nnab都转变为乘积形式）例题1：已知数列2nna，数列{}nb的前n项和22nSnn，求数列{}nnab的前n项和nT例题2：求数列312nnna的{}nnab的前n项和nS13习题1：求：23124272...(32)2nnSn习题2：设数列1(21)3nnna，求na的前n项和nS14（2）裂项相消求和适用于1()nannk的形式，变形为：1111()()nannkknnk例题：求数列1(1)nann的前n项和nS习题1：求数列1(2)nann的前n项和nS习题2：求数列,11,,321,211nn的前n项和.15（3）、分组法求和：有些数列是和可以分成几部分分开求，在进行加减；例题：求321nnan的前n和nS？习题1：已知{}na是一个递增的等差数列且241545,14aaaa，{}na前n项和为nS数列212nnb的前n项和为nS，求数列2nnncab的前n项和nT16（3）、倒序求和：若1()knkaafk，则na的前前n项和nS用倒序求和【角标之和为1n，()fn可以为一个常数，能用倒序求和的，(1)(2).....()fffn一定是可求的】例题1：若数列12mmnmaa，求na的前前n项和nS习题2：若数列13knkaka，求na的前前n项和nS