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｜前沿科学（季＝）２０１６＿４第１０卷■总第４０期略论作为微积分原理的完善的实变函数？丁小平（接引寺，浙江３６５５００）摘要：针对实变函数的相关问题，本文以通俗而简明的方式列举了实变函数理论中存在的循环论证等几处误解，从而证明实变函数理论作为现行微积分原理已完善的论据是不充分的。关键词：实数；数－形模型；康托定理；测度中图分类号＝０１７２文献标识码：ＡＩ１＾以了，不会影响微积分方法应用于具体科学和技１＝１术问题的。然而，人类为什么一定要建立科学的就微积分原理的发展历程而言，发生过两次微积分原理呢？这是因为人类总要弄清楚这个来危机。第一次危机可以简称为贝克莱“鬼魂”源于近似而得出结果却精确的方法能放之四海而问题；第二次危机可以简称为“病态函数”问皆准的个中原因？还有，人类还要借助于这个原题。就定论的微积分发展史而言，不管是Ｃａｒｌ理发现更多微积分方法。应该说Ｃａｕｃｈｙ想解决Ｂ．Ｂｏｙｅｒ的《微积分概念发展史》，还是Ｗｉｌｌｉａｍ这个问题，可事实上并没有解决。Ｄｕｎｈａｍ的《微积分历程》，都一致认为以Ｃａｕｃｈｙ的所谓微积分原理，即现行微积分Ａ－Ｌ．Ｃａｕｃｈｙ（１７８９－１８５７）为代表的大数学家解原理，就是在无奈时拼接了一点儿莱布尼兹的微决了微积分原理的第一次危机，以Ｇ．分的极限化的Ｉ．Ｎｅｗｔｏｎ（１６４２＿１７２７）的“微积Ｃａｎｔｏｒ（１８４５－１９１８）、Ｒ．Ｂａｉｒｅ（１８７４－１９３２）分原理”。牛顿的ｐｏ／ｑｏ－经取极限，就再也拆和Ｈ．Ｌｅｂｅｓｇｕｅ（１８７５－１９４１）为代表的大数学家不开了。因此，也就解释不了如今这样丰富的微解决了微积分原理的第二次危机。并且以积分方法，尤其是微分方程的一般解法。正是由Ｌｅｂｅｓｇｕｅ在１９０４年发表《积分：长度和面积》于这个原因，Ｃａｕｃｈｙ不得不拼接莱布尼兹的微为标志，数学界宣布现行微积分原理成为严密而分，以实现导数的微商形式。然而，错误也就因完整的体系。事实上不然。此而发生，见《现行微积分原理的错误》１２］—文。仅就从应用角度看微积分，有Ｇ．对“病态函数”的研究，以Ｃａｕｃｈｙ为代表Ｌｅｉｂｎｉｚ（１６４６＿１７１６）不彻底的微积分原理就可的微积分原理遭到第二次怀疑，以Ｃａｎｔｏｒ、作者简介：丁小平（１９６２－）男，１９８６级清华大学工学硕士研究生，１９８８级北京大学理学硕士研究生和中央民族大学哲学硕士研究生。１９８４年至今一直从事高等教育和科学研究工作。Ｅ－ｍａｉｌ：ｍａｔｈｃｈｉｎａ＠ｙｅａｈ．ｎｅｔ前沿科学（季刊）２０１６．４第１０卷．总第４０期Ｂａｉｒｅ和Ｌｅｂｅｓｇｕｅ为代表的大数学家被认为解实数理论为前提。当然，这是在两个场合说的，决了这第二次危机，并且这些工作的总辑称作实一旦放到一处，循环论证的荒唐便显而易见了。变函数理论。事实上不然，实变函数理论大多是在Ｋ．Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ（１８１５－１８９７）之后，错的。１８７２年，Ｄｅｄｅｋｉｎｄ、Ｃａｎｔｏｒ、Ｃ．Ｍｅｒａｙ不管Ｎｅｗｔｏｎ、Ｌｅｉｂｎｉｚ、Ｃａｕｃｈｙ还是其他（１８３５－１９１１）和Ｈ．Ｈｅｉｎｅ（１８２１－１８８１）几乎同时人，都建立不起Ｌｅｉｂｎｉｚ意义的微积分原理，原发表了他们各自的实数理论，其中，“戴德金处因在于现行数学的数－形模型没有瞬时量。因为理这个问题的途径与维尔斯特拉斯、梅雷、海涅导数是两个瞬时量的比，即所谓瞬时变化率。极和康托尔的略有差别，因为他不考虑以什么方式限可以蹩脚地说明瞬时变化率的存在，但是，没定义无理数以避开柯西的恶性循环”［８１，也就是有瞬时量就没有瞬时量比的表达形式。说，Ｄｅｄｅｋｉｎｄ实数构造方法——戴德金分割法通过重新构造数学的数－形模型，我们可以是有别于后面三位的。有人曾以“戴德金分割”重建微积分原理。这个微积分原理极其简单易没用极限论为由说明如上循环论证不存在，事实学，它与罗宾逊的《非标准分析》一样，“证明真的如此吗？了Ｌｅｉｂｎｉｚ的思想能够全面维护。”Ｄｅｄｅｋｉｎｄ是这样构造无理数的：“把有理数？分为两类，使第一类Ａ的每一个数都小于第二类２头变函数理论中的种种问题＋Ｂ的每一个数，那么就有一个且只有一个实数可人们总希望科学领域能成为一片远离集团斗以产生这个分割，或曰‘戴德金分割因此，争的净土，可是，事实上绝不是这样，不仅学术如果我们将有理数分成Ａ、Ｂ两类，使Ａ包含平上也存在“冒着被责骂的危险”｜４１，更严重的是方小于２的所有数，Ｂ类包含平方大于２的所有学术观点的当政和在野往往与持此种观点的人们数，那么，根据连续性公理，就只有唯一一个实的政治地位与经济地位相联系，“数学家也是数产生这个分割，在这里写作及。”ｍ戴德金人，也要吃饭、穿衣”［５］。因此，这就不可避免说：“每当我们考虑一个不是由有理数产生的分地导致学术观点辩论转化为学术集团的斗争。割（Ａ：，Ａ２）时，就得到＿个新数即无理数Ｎｅｗｔｏｎ１＇Ｃａｕｃｈｙ（１７８９－１８５７）ｍ和柯西派的很ａ，我们认为这个数是由分割（４，Ａ２）完全多人不是这样吗？确定的。”？“戴德金分割法”的虚伪之处在于我们与传统数学之争，已经不仅是科学与科只能解决已知的无理数问题。事实上，且不说现学之争，而且还是科学与“数学教”之争。我们行实数系定义的有问题，即使回避这些也还有问都知道，高度抽象的数学语言是不能做思想工作题，我们对“代数数之外”有多少认识——超越的。以下将采用白话的形式阐述现行实变函数理数又分为多少类？它们的性质如何？Ｄｅｄｅｋｉｎｄｉ仑中的问题。分割法对性质尚未弄清的数是无能为力的。２．１循环论证Ｍ６ｒａｙ和Ｈｅｉｎｅ与Ｃａｎｔｏｒ的思想具有一致现行数学声称，实数理论是严密而完整性。Ｃａｎｔｏｒ的思想是这样的：“把实数ａ定义为的，因为它以科学的极限理论为依托；极限论的有理数序列｛ａ，，｝，这里若Ｕ？｝必须是满足柯西收科学性是不容置疑的，因为，它以严密而完整的敛准则的基本序列，即当￣时，—＾７｜前沿科学（季Ｔｌ｜）２０１６．４第１０卷？总第４０期对任意正整数致地趋于０。Ｃａｎｔｏｒ把每个有找到了这个，他们没有把它仅仅当作无穷集合的理数基本序列与一个实数等同起来。而两个基本一个奇怪特性，而是把它作为一个无穷集合的定序列｛？？｝和｛心丨，若ｌｉｍ（ａ？－心）＝０，则被看成义。戴德金说‘如果系统Ｓ与其适当的部分相是等价的，即它们定义同一个实数。若是任似，则它是无限系统；反之，则ｓ为有限系统。’意实数序列，又若对任意正整数致地有在这一定义之下’无穷集合作为逻辑上自相容的成立，则必存在唯－的－个自实体而存在，实数的定义就完成了。’’［１４］这就是：，康托主义者绞尽脑汁要人们接受，同时也是支撑数Ａ，它被一个由有理数ａ，，构成的基本序列，现行微积分原理的依据——“总体与其局部可以Ｕ？｝所确定，使得ｌｉｍ６，，＝６”１１１１并认为这样就一—＿对应”。这样，就有——如果系统Ｓ与其适自的部分相似，则它是无限系统；如果Ｓ是无限事实±’Ｃａｎｔｏｒ的思、想与系统，则Ｓ就可以与其适当的部分相似——这就Ｂｏｌｚａｎｏ－Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ区间套定理所讲的＿样’是大数学家的所为，这就是神圣不可侵犯的大数即“如果实数序列｛？？｝和｛乂，｝满足条件⑴学家。不仅如此，人们还必须遵守“谆谆教⑵ｌｉｍＵ？＿６＂）＝导”，布尔巴基学派核心成员Ｆ．豪斯道夫说：“这〇，那么，（！）序列Ｕ？｝与序列｛６？｝收敛于相同的一违反公理‘全体大于部分’的事实，即是‘无极限值：Ｈｍ？＝ｌｉｍ乂＝ｃ，（ｉｉ）ｃ是满足下列条限的矛盾之一，，对此，我们必须习惯……件的唯一实数：乂，Ｖｎ６Ｎ．”１１２１他们所谓的局部可以与整体一一对应，Ｃａｎｔｏｒ先用的都是有理逼近，而按照Ｂａｉｒｅ的第二类集合生及其追随者是这样解释的：“对于有限集合，和Ｌｅｂｅｓｇｕｅ的测度理论，存在无数超越数区这当然是不可以的，可是，无限集合不同了。比间，阻隔？和？＋〃以及和乂，＋＂相互靠近，也如有限的自然数无法与这些自然数中的奇数一一阻隔自有理区间开始的区间套收向一点。用时髦对应，而无限的自然数就可以与这些无限的自然的词说就是，Ｖｅ＞０，使得与Ａａ，ｘｊ＜￡要数中的奇数一一对应，可见，有限集合与无限集求一致的ｉＶ（ｅ）不存在，因为ｍ和？７都是自然合不同。”然而，对于无限集合中的局部可以与数，按照康托定理，都无法趋近以或之上为整个集合自身一一对应这一观点，并没有给出有基的〇〇，从而（）不完备。当然，这都是力的证明。就谬论说谬论。相反，设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ为无限集合，Ａ＝这样，若承认极限论，就得否认Ｂａｉｒｅ１１３１和Ｂ＋Ｃ＋Ｄ，再设Ｃ＝Ｅ，则Ｅ为Ａ的真子集。Ａ中的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ的理论；若承认Ｂａｉｒｅ和Ｌｅｂｅｓｇｕｅ的真子集Ｃ足以与Ｅ对应（有公理保证），故理论，极限论的实数定义就靠不住。还有，而，Ｅ中再无元素可与Ｂ和Ｄ对应。这个简单的Ｃａｎｔｏｒ定义的实数是数而不是量，因此，没有测证明对无限集合和有限集合都适用。光看到Ａ与度，支持不了Ｌｅｂｅｓｇｕｅ的测度理论。Ｅ中的元素是无限的，就不区分增长速度地举出２．２总体与其局部并非可以对应某一个对应方式，很不妥。这种观点的幼稚在Ｄｅｄｅｋｉｎｄ和Ｃａｎｔｏｒ试图为“无穷集合理于，因为Ｅ中具有无限多元素，所以，Ｅ就可以论，，寻找一个基础。“他们在Ｂｏｌｚａｎｏ的悖论中与（Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）中的元素对应下去，可是，前沿科学（季刊）２０１６．４第１０ｆ？总第４０期ｊ他们忘记了Ｃ与Ｅ是同步的无穷多，从而，Ｂ与１…Ｄ在Ｅ中找不到对应项。相反，谁举出某一个对２＾ａ２＝Ｏ．Ｐ２１Ｐ２２／Ｖ＂应方式，谁就得给出可以这样列举的证明。有人３＾说：“通过具体列举就可以证明一一对应。”事实；上，这是无限集合，谁列举得完？他们还可以Ｋ－？＝说：“给出列举方式就可以了。”同样，忽视两个；集合的增长速度（即关联关系）的列举方式是不再构造ｂ＝０．￣Ｗ３＿“（Ｖ－，并规定尸《＝１，可能的。当我们说Ｅ是Ａ的真子集时，这就已经则心＝９，若尸《—１，则心＝１，因此，ｂ是（０，１］是关联关系了。中的一个实数，但却不同于如上厚列中的任何一就自然数可以与其子集奇数一一对应的说法个实数，这就与假设矛盾，因此，（０，１］是不可数而言，＿个是：１、２、３…ｎ…；另一个是：１、的，同理，任何实数区间均不可数。”１１７１３…（２ｎ－１）。即使到了－＞，ｎ也是同步的，因如上证明有前提性错误——实数不可以写作此，自然数集合是奇数集合的２倍。当然，有人无限不循环小数，因为这里是纯数学而不是应用又会说：“这是有限集合的逻辑。”可是，主张无数学。有理数当然不是无限不循环小数，无理数限集合具有上述特征的人给出过令人信服的证明也只是他自己，绝不是无限不循环小数。无限小吗？他们不也是承认全体自然数不能与全体实数数是动态的、不确定的数，而无理数是静态的、建立一一对应关系吗？确定的数。如果用序列讲，无理数是无限不循环诚然，任意一个实数区间里的实数是可以与小数序列的极限，而不是它自身，也不是这个动自然数建立一一对应关系的，这也就是通常所说态过程。Ｃａｎｔｏｒ的错误在于把无理数等同于该无的数数（这与１８９０年