新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文(设计)2014届本科毕业论文(设计)题目:关于函数不动点的性质及应用所在学院:数学科学学院专业班级:数学09-3班学生姓名:帕孜丽娅·阿布都热习题指导教师:塔实甫拉提副教授答辩日期:2014年5月5日新疆师范大学教务新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文(设计)1目录引言................................................................11函数不动点的基本概念..............................................11.1函数不动点的定义与定理及推论................................12函数不动点的性质..................................................22.1不动点的不唯一..............................................33函数不动点的应用..................................................43.1求函数的不动点..............................................43.2利用函数不动点求函数解析式..................................73.3利用函数不动点解方程........................................83.4利用函数不动点求数列通项....................................93.5利用函数不动点求函数极限...................................114总结.............................................................13参考文献...........................................................13致谢...............................................................13新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文(设计)2关于连续函数的不动点及应用摘要:不动点定理是20世纪数学发展中的重大课题,其影响遍及整个数学界。此定理涉及数学分析、拓扑学、非线性分析等多种问题,运用不动点定理,可以解决数学中出现的许多问题,简单、方便、实用。本论文以介绍布劳威尔不动点定理为主线,详细研究迭代法的思想,简介不动点定理的起源和基本内容,考虑了连续函数和单调函数的不动点问题,最后研究了不动点定理在数列极限中的应用。关键词:不动点定理;迭代法;函数;数列极限。新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文(设计)1引言不动点定理的产生是数学发展史上的一次重大突破,它涉及诸多数学分支,其应用十分广泛,相关领域的研究至今仍呈现勃勃生机。数学中的许多重要的定理,如隐函数定理、微分方程解的存在性定理等,都可以用不动点定理给出简洁的证明。本论文简单粗浅地介绍了对不动点定理的认识、理解,以及它的应用。1函数不动点的基本概念1.1函数不动点的定义与定理及推定义1.1.1对函数)(xf,若存在实数0x,满足00)(xxf,则称0x为)(xf的不动点。对此定义有两方面的理解:(1)代数意义:若方程xxf)(有实数根0x,则)(xfy有不动点0x;(2)几何意义:若函数)(xfy与xy有交点),(00yx,则0x为)(xfy的不动点。关于一元函数的不动点是一重要研究课题,而连续函数是一类重要函数,连续函数不动点存在定理目前有如下结论:结论1.2.1)(xf在],[ba上连续,且值域为],[ba,则)(xf在],[ba上存在不动点。【4】结论1.2.2)(xf在I上满足,,|()()|||,1xyIfxfyLxyL有其中,()fx的值域为I,则)(xf存在不动点。【4】结论1.2.3)(xf在R上严格单减,且,,xyR|()()|||(1)fxfyLxyL有,则)(xf存在不动点。【4】本文给出连续函数存在不动点的3个定理。定理1.2.1)(xf在区间I上连续,且)(xf是II的满射,,,|()()|||xyIfxfyLxy,若1L,则)(xf存在惟一的不动点。定理1.2.2)(xf在],[ba上有有限个可去间断点,在间断点0x的极限不为0x,(),()faafbb,则)(xf在],[ba上存在不动点。定理1.2.3)(xf在],[ba上连续。设AB,为曲线()yfx的端点,若yx与线段AB相交,则)(xf一定存在不动点。2函数不动点的性质性质2.1函数)(xf如有不动点,不动点必为函数)(xf的图象与直线xy的交点。性质2.2奇函数)(xf如有不动点),(aa,则点),(aa也是它的不动点。性质2.3函数)(xfy的反函数为)(1xfy,若0x是)(xfy的不动点则0x也是)(1xfy的不动点。证明由00)(xxf,可得001)(xxf,所以0x是)(1xfy的不动点。性质2.4定义在R上的奇函数)(xf图像上存在有限个不动点,则不动点有奇数个。证明)(xf是奇函数,)()(xfxf。又Rx,令0x,则0)0(f,新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文(设计)新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文(设计20是)(xf的不动点。设0c是奇函数)(xf的一个不动点,则ccf)(。ccfcf)()(,c也是函数)(xf的一个不动点,且cc,这说明奇函数)(xf的非零不动点如果存在,则必成对出现。又根据题设)(xf只有有限个不动点,故函数)(xf的不动点数目是奇数个。但对于偶函数没有相应的结论,即“定义在R上的偶函数)(xf的不动点的个数为偶数个”此命题是不成立的。例如:1)(xf是偶函数,设c是1)(xf的不动点,则一方面ccf)(,另一方面1)(cf,由此得1c。因此1)(xf有且只有一个不动点。性质2.5已知,,))(()(,))(()(,)()(23121xFfxFxFfxFxfxF))(()(1xFfxFnn),2(Nnn若0x是)(xfy的不动点,则0x是)(,,)(,)(32xFxFxFn的不动点。证明因为0000102)())(())(()(xxfxffxFfxF,则0x是)(2xF的不动点,假设0x是)(xFk的不动点,即00)(xxFk,则00001)())(()(xxfxFfxFkk,由数学归纳法知0x是),2()(NnnxFn的不动点,所以0x是)(,,)(,)(32xFxFxFn的不动点。性质2.6函数cdxcdcxbaxxf,0)(有两个关于原点对称的不动点的充分必要条件是0,bcda。证明设)(),(xfxx是的一个不动点,),(xx是它的另一个不动点,则有方程xdxcbxaxf)(,整理,得0)(2bxadxc①由题意,方程①有两个根,绝对值相等,符号相反,故00dacbc0,bcda且。2.1不动点不必唯一如下图1、2中就分别画出了三个不动点。新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文(设计)新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文(设计3图1图2(4)并非所有函数都存在不动点。在,ab上连续的函数fx,或者值域包含,ab,或者值域含在,ab中,均存在不动点,而其它情形则不一定有不动点。(参见下图3、4、5)图3fx的值域包含,ab,图4fx的值域含于,ab之中,有一不动点c。有一不动点c。图5fx的值域既不含于,ab,也不包含,ab,没有不动点。3函数不动点的应用不动点理论是泛函分析理论的重要组成部分,我们可以看到多种不同形式的不动点定理,这些定理对不动点的存在性及个数进行广泛而深入的研究。不动点定理在数学中有着广泛应用。3.1求函数的不动点求解函数的不动点时需要运用各种方法与技巧,才能使问题迅速获解。例3.1.1对于任意定义在区间D上的函数)(xf,若实数Dx0满足00)(xxf,则称0x为函数)(xf在D上的一个不动点。求函数212)(xxxf在),0(上的不动点。解设0x是212)(xxxf在),0(上的不动点,则000212xxx,解得10x,即1是212)(xxxf在),0(上的不动点。例3.1.2M是形如)(Rbabaxxf,)(的实变量x的非零函数集,且M是具有下列性质:(ⅰ)若Mgf,,则Mfg,其中定义)]([))((xfgxfg;(ⅱ)若Mf,且baxxf)(,则反函数1f也属于M,这里新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文(设计)新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文(设计4abxxf)(1;(ⅲ)对M中每一个f,存在一实数jx,使得jjxxf)(。求证:总存在一个实数k,对所有Mf有kkf)(。证明条件(ⅲ)表明,对每一个Mf,都有一个不动点jx,使得jjxxf)(。现要证集合M中所有函数f,必有一个公共不动点k。设baxxf)(的不动点为jx,即jjxbax。若01ba且,则任何实数都是)(xf的不动点。若01ba且,则f的不动点不存在,这时Mf。因此,只需证明:当Mabaxxf)(1)(时,必有1ab为常数,这时取1abk,则对任何Mf,有kkf)(。首先证明,若212211,)(,)(bbMbaxxgMbaxxg则。于是,由性质(ⅰ),(ⅱ)有Mabbxabbaxxgg2121112)()]([。由性质(ⅲ)知,)]([112xgg存在不动点,故21bb。其次,对形如bxxh)(的函数,当0b时,Mxh)(;当0b时,对任何实数k有kkh)(。故只须考虑M中形如)(1)(abaxxf的函数。设Mabxaxf)1()(1111;Mabxaxf)1()(2222。那么,由性质(ⅰ),得Mbbaxaabbxaaxff12121122121)()]([。Mbbaxaabbxaaxff21221211212)()]([。则212121bbabba,即112211abab。此式表明,对任何Mabaxxf)(1)(,1ab是常数。取1abk,则kabbabaabfkf111)(,即知题中结论成立。例3.1.3设)}({nf是取正整数值的严格递增数列。已知2)2(f,当nm,互质时,)()()(nfmfmnf。求证:nnf)(证明本题是在题设条件下证明)(nf取自然数)2(nn时均为不动点。事实上,由新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文(设计)新疆师范大学2014届本科毕业生毕业论文(设计5)21()7()3(fff)11(2)11()2()22(ffff)7(4)7()2(2)14(2ffff,有4)3(f但3)3(,2)2()3(fff所以,。下面用反证法证明:若命题不真。假设nnf)(的最小正整数40nn为,则1)1()(000nnfnf故只能00)(nnf。又)}({nf是严格递增的,当0nn时,有nnf)(①下面分两种情况讨论:(1)当0n是奇数时,2和20n互素,则)2(2)2()2()]2(2[000nnffnf②又因40n,则00)2(2nn。从而式②与式①矛盾。(2)