实数的连续性定理及其应用研究

摘要实数集合的连续性是实数系的一个基本特征,它是微积分学的坚实的理论基础.人们从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性,得到了一连串的有关实数的连续性定理,其中包括:确界存在定理,闭区间套定理,单调有界收敛定理,聚点定理,有限覆盖定理,柯西准则,致密性定理等.本文主要阐述实数集八个基本定理及其相关内容,而且在基于实数系连续性公理基础之上,顺序证明了这八个基本定理.首先用单个定理做基础来证明其它的定理,其中重点求证了有限开覆盖定理及区间套定理和其它定理间的等价关系；而后,运用和一般教材不同的证明顺序先后对八个定理进行了循环证明,继而得出定理之间相互等价；最后,介绍它们在研究连续函数性质方面的重要应用并进行了推广,获得了对实数集完备性基本特征的更深刻的认识和理解.关键词:连续性；区间套；有限开覆盖；等价性AbstractContinuityofthesetofrealnumbersisbasiccharacteroftherealnumbersystem,anditisstabletheorybackgroundofcalculus.Peopledescribedanddepicteditfromdifferentangles,andaseriesofcontinuoustheoremsofrealnumbersareobtained,includingexistencetheoremofsupremum,theoremofnestedclosedinterval,boundedmonotoneconvergencetheorem,accumulationprinciple,thefinitecoveringtheorem,Cauchycriterion,thecompactnesstheoremandsoon.Inthisthesis,eightfundamentaltheoremsandrelatedcontentsfortherealnumbersetaredescribedandtheeightfundamentaltheoremsareprovedinasequencebasedonthecontinuityaxiomofrealnumbersystem.First,withthesingletheorem,theothertheoremsareproved,inwhichtheequivalencerelationbetweenthefinitecoveringtheorem,theoremofnestedclosedintervalandothertheoremsaremainlydiscussed.Second,thecycleprooffortheeighttheoremsaregivenoneafteranotherintheorderwhichisdifferentfromgeneraltextbooksandtheirequivalencerelationsareobtained.Finally,theirimportantapplicationsininvestigatingthepropertiesofthecontinuousfunctionsareintroducedandextended,anddeeperunderstandingofthebasicfeaturesofcompletionabouttherealnumbersetisreceived.Keywords:Continuity;theNestedInterval;limitedopencovering;Equivalence目录引言..................................................................1第一章实数连续性相关概念及定理证明....................................11.1实数空间..........................................................11.1.1实数的定义与性质..............................................11.1.2实数的定义与性质..............................................11.1.3实数公理......................................................31.1.4实数集的连通性................................................41.2实数连续型基本定理及证明..........................................51.2.1确界存在定理..................................................51.2.2单调有界定理与区间套定理......................................61.2.3紧性定理......................................................81.2.4柯西准则......................................................91.3实数基本定理的等价证明...........................................101.3.1基本定理循环例证.............................................101.3.2用区间套定理证明其他定理.....................................121.3.3用单调有界定理证明其余五个定理...............................131.3.4用有限覆盖定理证明其他定理...................................15第二章实数连续性的应用研究...........................................162.1连续函数性质的证明...............................................182.1.1连续函数的有界性定理.........................................182.1.2连续函数的介质性定理.........................................182.1.3一致连续性定理...............................................202.2实数连续性等价命题的应用.........................................212.2.1确界定理在解题中的应用.......................................212.2.2有限覆盖定理在解题中的应用...................................222.2.3柯西收敛准则在解题中的应用...................................232.3实数连续性的推广应用.............................................23结论................................................................26参考文献..............................................................27致谢.................................................................281引言《数学分析》是以函数和各种分析性质为基本基本对象,其主要包含连续性,可积性以及可微性.可积性与可微性是创建在极限理论基础之上的,但是极限理论又是基于在实数空间[1]的连续性,也就是实数集连续性的基础之上.实数集的连续定理在《数学分析》中属于基础的部分,实数集的连续性定理主要包含有:确界存在性定理,闭区间套定理,单调有界收敛定理,聚点定理,有限覆盖定理,柯西准则,致密性定理,一致连续性定理.本文阐述了实数集合上八个基本定理和相关内容.以实数系的连续性为公理,顺序证明.先以单个定理证明其他.其中重点证明区间套定理及有限开覆盖定理与其他定理之间的等价关系.而后运用和一般教材不同的证明顺序先后对七个定理进行了循环证明,继而得出定理之间相互等价；最后,介绍它们在研究连续函数性质等方面的重要应用并进行了推广,获得了对实数集完备性基本特征的更深刻的认识和理解,进一步印证了实数完备性定理在整个数学分析理论体系中的基础地位.文章开头首先从介绍实数空间开始,为了定义实数空间,首先需要定义实数的运算和关系,并承认有理数的一些熟知性质,如有理数是最小的全序域,所谓全序域简单地说就是可以比较大小,和作加、减、乘、除四则运算.有理数集是稠密的,即对任意有理数ba、ba,总存在有理数c,使得bca.除此之外,有理数还满足阿基米德原理,也就是说对任何正有理数0ab,一定有自然数n,使得bna.在实数空间部分,文章中也会对实数的性质和域公理]1[,还有对实数集的连通性做了详细阐述.在数学分析课程的学习中,大家对有界集合的确界概念已经很熟悉了,为了证明其存在性,本文章会引入实数连续性系统的第一个定理-确界存在定理.如果全序集里任何非空且有上界的集合一定存在上确界,则称此全序集是完备的.在全序集中任何区间长趋于零的区间都存在非空交集,我们把该全序集称为是完备的.在本文中我们会给出区间套定理,此定理刻画和描绘了实数集是完备的,同时也给出经过逐步减小搜索范围,来找到所求点的方法.2给定序列nx,我们有没有办法去判断它有极限还是没有极限.极限定义也可以说是判断有没有极限的一种方法.但用定义判断极限存在需要知道极限值,而困难就在于此.如果序列是单调的,比如它是单调增加的,那么序列有没有极限问题就转换成了序列有没有上界的问题.这种情况下判断有没有极限问题是解决了.若是任意序列,只要序列给定,它有没有极限应是客观存在的事实,为了更好地去判断它,我们引入了序列极限的柯西收敛原理.相应的我们还能得出函数的柯西收敛原理.简单地,函数和序列的柯西收敛原理就构成了实数的完备性.数学分析的主要研究对象是连续函数,因此熟悉连续函数的基本性质有着十分重要的意义.我们在熟悉连续函数三个基本性质的基础上,指出它们的相关意义,作为实数连通性[1]、紧性定理[1]应用,我们用此可以来证明函数的三个性质（中间值定理、有界定理、最值定理）,至此,我们还可以得到一致连续性定理.在本论文中我们证明了实数连续性的七个等价命题.给出如果把其中一个定理当作公理,其他定理也均可由这一公理及其其他的公理证明.其直接证明方法就是运用每个命题来直接证明其他六个等价命题,而不是用其他命题作为过渡.利用这种证明方法,能够深刻理解每一个命题如何从不同角度来刻画实数连续性及完备性的,促使实数连续性命题的结构和逻辑关系框架进一步清楚.极限理论问题首先是极限存在问题.给出已知数列能否判断其是否存在极限,不只是与数列本身结构相关,还与数列本身所在的数集有关系.如果在有理数集Q上讨论极限,那么单调有界的有理数列就不一定存在极限.例如,单调有界的有理数列11nn就不存在极限,因为它的极限是e,是无理数.因为实数集合有关极限运算是完全封闭的,这是实数集有别于有理数集的特别特征.因而,我们把极限理论基于实数集性质的基础之上,就能使得极限理论具备了牢固的基础.所以实数集的完备性是数学分析的基础.它在整个数学分析中占据着重要的位置