概率统计试题和答案(本科完整版)

..Word完美格式填空题（每题2分，共20分）A1、记三事件为A，B，C.则用A，B，C及其运算关系可将事件，“A，B，C中只有一个发生”表示为.A3、已知P(A)=0.3，P（B）＝0.5，当A，B相互独立时，06505P(AB)_.__,P(B|A)_.__。A4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为1/10。A5、若随机变量X在区间(,)ab上服从均匀分布，则对acb以及任意的正数0e，必有概率{}Pcxce＝e,cebbabc,cebbaA6、设X服从正态分布2(,)N，则~23XYN(3-2μ,4σ2).A7、设1128363XBEXDX~n,p),n__,p__（且＝，＝，则A8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X表示取出3只球中的最大号码。则X的数学期望)(XE4.5。A9、设随机变量(,)XY的分布律为XY12310.120.100.2820.1800.12300.150.05则条件概率}2|3{YXP2/5.A10、设121,,XX来自正态总体)1,0(N,2129285241iiiiiiXXXY,当常数k=ABCABCABC..Word完美格式1/4时，kY服从2分布。A二、计算题（每小题10分，共70分）A1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求：（1）没有一台机器要看管的概率（2）至少有一台机器不要看管的概率（3）至多一台机器要看管的概率解：以Aj表示“第j台机器需要人看管”，j=1，2，3，则:P(A1)=0.1,P(A2)=0.2,P(A3)=0.15,由各台机器间的相互独立性可得123123109080850612PAAAPAPAPA....12312321101020150997PAAAPAAA....1231231231231231231231233010808509020850908015090808500680153010806120941PAAAAAAAAAAAAPAAAPAAAPAAAPAAA.................A2、甲袋中有n只白球、m只红球；乙袋中有N只白球、M只红球。今从甲袋任取一球放入乙袋后，再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少？解：以W甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”，R甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”，W乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”，则所求概率为PWPWWRWPWWPRW乙甲乙甲乙甲乙甲乙PWPWWPRPWR甲乙甲甲乙甲11111111111nmNNnmNMnmNMCCCCCCCC111nNmNnmNnnmNMnmNM..Word完美格式A3、设随机变量X的概率密度为cos,||()20,Axxfx其它,试求（1）常数A;(2)分布函数()Fx;(3)概率{0}4PX。解：（1）由归一性可得：2212fxdxAcosxdxA，从而12A2222222xxxxfxdx,x.Fxfxdxfxdx,xfxdx,x021122212,xsinx,x,x401230424.P{X}cosxdxA4、（1）已知X的分布律为X-10123P121613112131计算)21(2XD。（5分）解：222421244D(X)DXEXEX11522523544164（2）、设)1,0(~NX，求2XY的概率密度.（5分）解：Y的密度函数为：210200ye,yf(y)y,y..Word完美格式A5、设(,)XY的概率密度为000,(),,(,)xyexyfxy其它.(1)试求分布函数),(yxF；(2)求概率(,)PxyG其中区域G由X轴,Y轴以及直线1yx所围成.解:000010xy(xy)xyedxdy,x,y.Fx,yfx,ydxdy,其他11000xyee,x,y,其他2G.P(x,y)Gfx,ydxdy1110012x(xy)edydxeA6、设二维随机变量(,)XY的概率密度为(1),01(,)0,kxyxfxy其它,求常数k及边缘概率密度.并讨论随机变量YX,的相互独立性。解：由归一性知：0111(,)yxfxydxdykxdxdy100116xkdxxdyk6k(,)Xfxfxydy061010xxdyx，，其他61010xxx，，其他(,)Yfyfxydx161010yxdxy，，其他231010-，，其他yy显然(,)XYfxyfxfy，故X与Y不相互独立。A7、设总体X的概率密度为1,01()0,xxfx其它,其中0为未知参数.若nXX,,1是来自母体的简单子样，试求的矩估计与极大似然估计.解：（1）令1101XEXxxdx解得的矩估计为2ˆ1XX（2）似然函数11211nnniiiiLxx..Word完美格式对数似然函数1lnln1ln2niinLx令121ln1ln022niiLnx解得的极大似然估计为221ˆlnniinxA三、证明题（每题5分，共10分）A1、12,XX为来自总体X的样本，证明当1ab时，12aXbX为总体均值()EX的无偏估计。证明：设总体均值()EX=μ，由于12,XX为来自总体X的样本，因此12EXEX而12aXbX为总体均值()EX的无偏估计，故应该有1212EaXbXaEXbEXab从而1abA2、设,XY是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为21,的泊松分布，证明ZXY服从参数为21的泊松分布。证明：由题知12~,~XPYP，即1212,!!mnPXmePYnemn令ZXY，且由,XY的相互独立性可得：PZkPXYk0,kmPXiYki12120!!ikikieeiki12120!!!!kikiieekkiki121201,,,...!kekk即ZXY服从参数为21的泊松分布B一、填空（每小题2分，共10分）B1.若随机变量的概率分布为，，则__________。B2.设随机变量，且，则__________。B3.设随机变量,则__________。B4.设随机变量，则__________。B5.若随机变量的概率分布为..Word完美格式则__________。B二、单项选择(每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分)B1.设与分别是两个随机变量的分布函数，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（）。(A)(B)(C)(D)B2.设随机变量的概率密度为，则（）。(A)(B)(C)(D)B3.下列函数为随机变量分布密度的是()。(A)(B)(C)(D)B4.下列函数为随机变量分布密度的是()。(A)(B)(C)(D)B5.设随机变量的概率密度为，，则的概率密度为（）。(A)(B)(C)(D)..Word完美格式B6.设服从二项分布，则（）。(A)(B)(C)(D)B7.设，则（）。(A)(B)(C)(D)B8．设随机变量的分布密度为,则（）。(A)2(B)1(C)1/2(D)4B9．对随机变量来说，如果，则可断定不服从（）。(A)二项分布(B)指数分布(C)正态分布(D)泊松分布B10．设为服从正态分布的随机变量，则()。(A)9(B)6(C)4(D)-3B三、计算与应用题（每小题8分，共64分）B1.盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。求抽取次数的概率分布。B2.车间中有6名工人在各自独立的工作，已知每个人在1小时内有12分钟需用小吊车。求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？（2）若车间中仅有2台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？B3.某种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为求（1）常数；（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。..Word完美格式B4.某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量，且。求（1）这样的电池寿命在250小时以上的概率；（2），使电池寿命在内的概率不小于0.9。B5.设随机变量。求概率密度。B6.若随机变量服从泊松分布，即，且知。求。B7.设随机变量的概率密度为。求和。B8.一汽车沿一街道行使，需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。求（1）的概率分布；（2）。B四、证明题（共6分）设随机变量服从参数为2的指数分布。证明：在区间上，服从均匀分布。..Word完美格式试卷二参考答案一、填空1.6由概率分布的性质有即，得。2.，则3.0.54.5.0.25由题设，可设即..Word完美格式010.50.5则二、单项选择1.()由分布函数的性质，知则，经验证只有满足，选2.()由概率密度的性质，有3.()由概率密度的性质，有4.()由密度函数的性质，有5.()是单减函数，其反函数为，求导数得由公式，的密度为6.()由已知服从二项分布，则又由方差的性质知,7.()于是8.(A)由正态分布密度的定义,有..Word完美格式9.(D)∴如果时,只能选择泊松分布.10.(D)∵X为服从正态分布N(-1,2),EX=-1∴E(2X-1)=-3三、计算与应用题1.解：设为抽取的次数只有个旧球,所以的可能取值为：由古典概型，有则12342.解：设表示同一时刻需用小吊车的人数，则是一随机变量，由题意有，，于是（1）的最可能值为，即概率达到最大的（2）..Word完美格式3.解：（1）由可得（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，若用表示“线路正常工作”，则而故4.解：（1）（查正态分布表）（2）由题意即查表得。5.解:对应的函数单调增加，其反函数为，求导数得，..Word完美格式又由题设知故由公式知：6.解:，则而由题设知即可得故查泊松分布表得，7.解:由数学期望的定义知,而故8.解:（1）的可能取值为且由题意,可得即0123..Word完美格式（2）由离散型随机变量函数的数学期望，有四、证明题证明：由已知则又由得连续，单调，存在反函数且当时，则故即试卷三C一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题2分，共10分）C1.设二维随机变量的联合分布律为，..Word完美格式则__________，_____