第2课时概率、随机变量及其分布列热点考向一古典概型、几何概型考向剖析:本考向考查形式为选择题、填空题,主要考查古典概型、几何概型的概率计算.考查运算求解能力及应用意识,为基础题或中档题,分值为5分.2019年的高考仍将以选择题、填空题的形式考查,除常规的概率计算问题,还应注意与数学文化的渗透.【典例1】(1)(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()1111A.B.C.D.12141518(2)(2018·赤峰二模)如图在矩形OABC中的曲线分别是y=sinx,y=cosx,A,C(0,1),在矩形OABC内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为()(0)2,4(31)4(21)A.B.C.4(31)D.4(21)(3)(2018·郑州一模)如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”,那么从长方体八个顶点中任取四个顶点,则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为__________.【解析】(1)选C.不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,其中和为30的有7+23,11+19,13+17.所以随机选取两个数,和为30的概率为21031.C15(2)选B.由题可知图中阴影部分的面积S=2(cosx-sinx)dx=2(sinx+cosx)=2(-1),易知矩形OABC的面积为,所以在矩形OABC内随机取一点,此点取自阴影部分的概率为4040|224(21).(3)从8个顶点任取4个顶点共有=70种选择方法;如图所示,三棱锥C-A1AB是“三节棍体”:48C可分以下三步确定“三节棍体”的个数,①从六个面中取一个面有=6种取法,②从一个面中的四个点中取出三个点有=4种取法,③另外一个点有2种取法,考虑到重复性(如三棱锥C-A1AB与三棱锥A1-ABC重复),可知满足是“三节棍体”的有=24种,故所求概率为P=答案:16C34C64222412.70351235【易错警示】解答本题容易出现重复计数,导致所得概率为的错误.2435【探究追问】把例1(2)的矩形改为矩形ABCD,其四个顶点的坐标分别为A(0,-1),B(π,-1),C(π,1),D(0,1),如图所示,在矩形ABCD内随机取一点,试计算此点取自阴影部分的概率.【解析】根据题意,可得曲线y=sinx与y=cosx围成的区域,其面积为(sinx-cosx)dx=(-cosx-sinx)又矩形ABCD的面积为2π,由几何概型概率公式得该点取自阴影区域的概率是4422|112,22=()=+12.2【名师点睛】1.利用古典概型求概率的关键及注意点(1)关键:正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数,这常常用到排列、组合的有关知识.(2)注意点:对于较复杂的题目计数时要正确分类,分类时应不重不漏.2.几何概型的适用条件及求解关键(1)适用条件:当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解.(2)求解关键:构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的确定是关键,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.【考向精炼】1.设不等式组所表示的区域为M,函数y=的图象与x轴所围成的区域为N,向M内随机投一个点,则该点落在N内的概率为()xy2xy2,y0,21x2A.B.C.D.4816【解析】选B.作出图形如图所示:则区域M为△ABC,区域N为单位圆的下半圆,点O到直线x+y=-和直线x-y=的距离均为=1,故半圆与AB,BC相切.所以向M内随机投一个点,则该点落在N内的概率为P=2222ABCS2.1S42222V半圆2.党的十九大报告指出,建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程,必须把教育事业放在优先位置,深化教育资源的均衡发展.现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教,将这6名毕业生全部进行安排,每所学校至少安排2名毕业生,则每所学校男女毕业生至少安排一名的概率为世纪金榜导学号()42144A.B.C.D.255255【解析】选C.由题意,将这六名毕业生全部进行安排,每所学校至少2名毕业生,基本事件的总数为N==50种,每所学校男女毕业生至少安排一名共有:3322636222CC(C)AA一是其中一个学校安排一女一男,另一个学校有一女三男,有=16种,二是其中一个学校安排一女两男,另一个学校有一女两男,有=12种,共有16+12=28种,所以概率为P=112242CCA1224CC2814.5025【加练备选】1.(2016·全国卷Ⅰ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()4n2n4m2mA.B.C.D.mmnn【解析】选C.由题意得:(xi,yi)(i=1,2,…,n)在如图所示的正方形中,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中,由几何概型概率计算公式知所以π=m41n,4mn.2.在区间[0,π]上随机取一个数x,使-cosx的概率为()32321235A.B.C.D.3388【解析】选B.因为0≤x≤π,-cosx,所以≤x≤,区间长度为π,则对应的概率323256623223P.33.某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人,从这批跳舞机器人中随机抽取了8个,其中有2个是次品,现从8个跳舞机器人中随机抽取2个分配给测验员,则测验员拿到次品的概率是()31313A.B.C.D.2828728【解析】选D.根据题意可得P=1126222288CCC13.CC28热点考向二条件概率及相互独立事件的概率考向剖析:本考向考查形式为选择填空题,主要考查条件概率、相互独立事件的概率计算.考查运算求解能力及应用意识,为基础题或中档题,分值为5分.2019年的高考仍将以选择填空题的形式考查,仍将以常规的概率计算问题为主.【典例2】(1)(2018·濮阳二模)如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率为()1213113A.B.C.D.1616416(2)在中心为O的正六边形ABCDEF的电子游戏盘中(如图),按下开关键后,电子弹从O点射出后最后落入正六边形的六个角孔内,且每次只能射出一个,现将A,B,C,D,E,F对应的角孔的分数依次记为1,2,3,4,5,6,若连续按下两次开关,记事件M为“两次落入角孔的分数之和为偶数”,事件N为“两次落入角孔的分数都为偶数”,则P(N|M)=()2111A.B.C.D.3432(3)(2018·孝义一模)某游戏中一个珠子从通道(图中实线表示通道)由上至下滑下(假设珠子滑向每个通道是等可能的),从最下面的六个出口(如图中1,2,3,4,5,6所示)出来,规定猜中出口者为胜,如果你在该游戏中,猜得珠子从3号出口出来,那么你取胜的概率为________.【解析】(1)选D.记甲、乙、丙、丁这4个开关闭合分别为事件A,B,C,D,又记甲与乙至少有一个不闭合为事件,则P()=P(A)+P(B)+P()=,则灯亮的概率为P=1-P()=1-P()·P()·P()=1-EEBAAB34ECDECD313.1616(2)选D.事件MN包括:(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6),共9种,而事件M包括(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)共18种,由题可得,P(N|M)=nMN91.nM182(3)因为从A到3总共有=10种走法,每一种走法的概率都是,所以珠子从出口3出来的概率是答案:25C51()225515C().216516【名师点睛】1.条件概率的求法(1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)=这是通用的求条件概率的方法.PAB.PA()()(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数,即n(AB),得P(B|A)=nAB.nA()()2.求复杂事件概率的方法及注意点(1)直接法:正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题,然后用相应概率公式求解.(2)间接法:当复杂事件正面情况较多,反面情况较少时,可利用其对立事件进行求解.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解.(3)注意点:注意辨别独立重复试验的基本特征:①在每次试验中,试验结果只有发生与不发生两种情况;②在每次试验中,事件发生的概率相同.【考向精炼】1.(2018·西宁一模)先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)两次,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数,且x≠y”,则概率P(B|A)=()1111A.B.C.D.3456【解析】选A.由题意可得P(AB)=P(A)=所以P(B|A)=23A1366,33331362,1PAB16.1PA32()()2.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考,已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的概率分别为,这三门科目考试成绩的结果互不影响,则这位考生至少得2个A+的概率是________.7358412,,【解析】这位考生至少得2个A+可分以下两种情况:(1)恰有两门得A+;(2)三门都得A+.其概率为答案:73573573(1)(1)(1)84128412845735151.1284121921511923.抛一枚均匀硬币,正反面出现的概率都是,反复这样投掷,数列{an}定义如下:an=若Sn=a1+a2+…+an(n∈N*),则“S2≠0,S8=2”的概率是________.世纪金榜导学号121n1n,第次投掷出现正面,,第次投掷出现反面,【解析】事件“S2≠0,S8=2”是指:(1)前2次都是正面,后6次中3正3反;(2)前2次都是反面,后6次中5正1反,故其概率为P=答案:36566611113[C()C()].42212813128【加练备选】1.某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立,则至少有一种新产品研发成功的概率为________.2335和【解析】设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件,则事件B为一种新产品都没有成功,因为甲乙研发新产品成功的概率分别为.则P(B)=2335和232(1)(1)3515,再根据对立事件的概率之间的公式可得P(A)=1-P(B)=,故至少有一种新产品研发成功的概率是.答案:13151