高一数学必修1-函数的概念及基本性质

1§1·函数的概念（一）函数的有关概念设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称BAf:为从集合A到集合B的函数，记作)(xfy，xA其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数)(xfy的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合Axxf|)(（B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(xfy表示“y是x的函数”，有时简记作函数)(xf.(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应BAf:这里A,B为非空的数集.（2）A：定义域，原象的集合；Axxf|)(：值域，象的集合,其中Axxf|)(B；f：对应法则，xA，yB（3）函数符号：)(xfyy是x的函数，简记)(xf（二）已学函数的定义域和值域1．一次函数baxxf)()0(a:定义域R,值域R;2．反比例函xkxf)()0(k:定义域0|xx,值域0|xx;3．二次函数cbxaxxf2)()0(a:定义域R值域：当0a时，abacyy44|2；当0a时，abacyy44|2（三）函数的值：关于函数值)(af例：)(xf=2x+3x+1则f(2)=22+3×2+1=11注意：1在)(xfy中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样奎屯王新敞新疆2)(xf不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”奎屯王新敞新疆3)(xf与)(af是不同的，前者为变数，后者为常数奎屯王新敞新疆（四）函数的三要素：对应法则f、定义域A、值域Axxf|)(只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数奎屯王新敞新疆（五）区间的概念和记号：在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.2设a,bR,且ab.我们规定：①满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；②满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；③满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b),(a，b].这里的实数a和b叫做相应区间的端点.这样实数集R也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”.还可把满足xa，xa，xb，xb的实数x的集合分别表示为[a，+)，（a，+）,(-,b],(-,b).【例题解析】例1判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？(1)x2＋y＝1(2)x＋y2＝1(3)1xx1y(4)y=x-1x例2求下列函数的定义域：（1）1()14fxxx(2)xxxxf0)1()(例3已知函数)(xf=32x-5x+2，求f(3),f(-2),f(a+1).例4已知10)(xxf)0()0()0(xxx，求)1(f，)1(f，)0(f，)]}1([{fff3讨论：函数y=x、y=(x)2、y=23xx、y=44x、y=2x有何关系？例5下列各组中的两个函数是否为相同的函数？⑴3)5)(3(1xxxy52xy⑵111xxy)1)(1(2xxy练习：下列各组中的两个函数是否为相同的函数？①()fx=0(1)x；()gx=1.②()fx=x；()gx=2x.③()fx=x2；()gx=2(1)x.④()fx=|x|；()gx=2x.例6已知函数)(xf=4x+3，g(x)=x2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].复合函数：设f(x)=2x3，g(x)=x2+2，则称f[g(x)]=2(x2+2)3=2x2+1（或g[f(x)]=(2x3)2+2=4x212x+11）为复合函数例7求下列函数的值域（用区间表示）：（1）y＝x2－3x＋4；（2）2()24fxxx；（3）y＝53x；（4）2()3xfxx.4例8※动手试试1.若2(1)21fxx，求()fx.2.一次函数()fx满足[()]12ffxx，求()fx.练习已知二次函数f(x)=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f(x－1)=f(3－x)且方程f(x)=2x有等根，求f(x)的解析式.函数的概念习题：1．如下图可作为函数)(xf的图像的是()（A）（B）（C）（D）xyOxyOxyOxyO52.对于函数()yfx，以下说法正确的有（）①y是x的函数；②对于不同的,xy的值也不同；③()fa表示当xa时函数()fx的值，是一个常量；④()fx一定可以用一个具体的式子表示出来。A.1个B.2个C.3个D.4个3．在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）＝x－1，g（x）＝112＋－xxB．f（x）＝｜x＋1｜，g（x）＝1111＜－－－－＋xxxxC．f（x）＝x＋1，x∈R，g（x）＝x＋1，x∈ZD．f（x）＝x，g（x）＝2)(x4．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）＝1.06×（0.5·［m］＋1）（元）决定，其中m＞0，［m］是大于或等于m的最小整数，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（）A．3.71元B．3.97元C．4.24元D．4.77元5.设22(1)()(12)2(2)xxfxxxxx≤≥，若()3fx，则x。6.求下列函数的定义域，要求把结果写成区间形式．（1）2)1(20＋＋－－＝xxxy；（2）1121－＋＋＝xxy；（3）xxxy－＋＝27．设)(xf的定义域是[3，2]，求函数)2(xf的定义域奎屯王新敞新疆8．已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x1,求f(x)的解析式奎屯王新敞新疆61x2x)(1xf)(2xf)(xf图1yx9．已知函数f（x）＝221xx＋（1）求f（x）+)1(xf的值（2）f（1）＋f（2）＋f（21）＋f（3）＋f（31）＋f（4）＋f（41）＝．§2·函数的单调性【知识要点】1．增函数与减函数对于函数)x(f的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值21x,x，⑴若当21xx时，都有)x(f)x(f21,则说)x(f在这个区间上是增函数（如图1）；⑵若当21xx时，都有)x(f)x(f21,则说)x(f在这个区间上是减函数（如图2）.1x2x)(1xf)(2xf)(xfyx图21x2x)(1xf)(2xf)(xf图3yx7说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2xy（图1），当),0[x时是增函数，当在)0,(x时是减函数.2．单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)x(f在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数)x(f的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.【例题解析】例1.利用图像判断函数的单调性1.指出下列函数的单调区间及在该区间上函数的单调性2.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间：（1）y|x-1|+2|x+1|；（2）|34xx|y2例2.单调函数的定义1.根据单调函数的定义，判断函数cx3x2)x(f2在)43,(上的单调性。xy0-55xy-55-4-3-2-1123482.利用定义判断函数)0()(babxaxxf在),(b上的单调性.3.求证1()fxxx的(0,1)上是减函数，在[1,)是增函数.4．讨论二次函数2()(0)fxaxbxca的单调性，并用单调性的定义对其中一种加以证明例3.二次函数1.已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)(2)f(2)与f(15)92.讨论函数322axxf(x)在(-2,2)内的单调性.3.二次函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围例4.分式函数已知31()2xfxx，指出()fx的单调区间。函数的单调性练习1．在区间)0,(上为增函数的是（）10A．1yB．1xyxC．122xxyD．21xy2．函数f（x）＝－x2＋2（a－1）x＋2在（－∞，4）上是增函数，则a的范围是（）A．a≥5B．a≥3C．a≤3D．a≤－53．函数)(xf在区间]3,2[是增函数，则)5(xfy的递增区间是（）A．]8,3[B．]2,7[C．]5,0[D．]3,2[4．函数)(xf在),(ba和),(dc都是增函数，若),(),,(21dcxbax，且21xx那么（）A．)()(21xfxfB．)()(21xfxfC．)()(21xfxfD．无法确定5．函数bxky)12(在实数集上是增函数，则（）A．21kB．21kC．0bD．0b6．已知)(xf在实数集上是减函数，若0ba，则下列正确的是（）A．)]()([)()(bfafbfafB．)()()()(bfafbfafC．)]()([)()(bfafbfafD．)()()()(bfafbfaf7．画出函数||32)(2xxxf的图像，并写出其单调减区间.8.利用函数单调性的定义，判断函数x4x)x(f在（,-2）上的单调性.§3·单调性与最大（小）值探究任务：函数最大（小）值的概念思考：先完成下表，函数最高点最低点()23fxx()23fxx,[1,2]x112()21fxxx2()21fxxx,[2,2]x【知识要点】：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值（MaximumValue）.试试：仿照最大值定义，给出最小值（MinimumValue）的定义．※典型例题例1一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是21305htt，那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？变式：经过多少秒后炮弹落地？试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？例2求32yx在区间[3，6]上的最大值和最小值.变式：求3,[3,6]2xyxx的最大值和最小值.12试试：1．函数2(1)2,[0,1]yxx的最小值为，最大值为.如果是[2,1]x呢？2.已知函数322xxy在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是A、[1，+∞）B、[0，2]C、（-∞，2]D、[1，2]※动手试试练1.用多种方法求函数21yxx最小值.变式：求1yxx的值域.练2.一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？房价（元）住房率（%）1605514065120751008513※知识拓展求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究.例如求2()fxxax在区间[,]mn上的值域，则先求得对称轴2ax，再分2am、22amnm、22mnan、2an等四种情况,由图象观察得解.当堂检测1.函数2()2fxxx的最大值是（）.A.－1B.0C.1D.22.函数|1|2yx的最小值是（）.A.0B.－1C.2D.33.函数2yxx的最小值是（）.A.0B.2C.4D.24.已知函数()fx的图象关于y轴对称，且在区间(,0)上，当1x时，()fx有最小值3，则在区间(0,)