平面向量的基本概念及线性运算-教案

1平面向量的基本概念及线性运算2适用学科高中数学适用年级高中一年级适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点向量的有关概念向量的线性运算平面向量共线定理教学目标1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．教学重点理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义；掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义教学难点掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义【教学建议】一.易忽视零向量这一特殊向量二.准确理解向量的基本概念是解决类题目的关键1.相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性.共线向量平行向量和相等向量均与向量的起点无关.三.“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度.四.进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解.五.向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用.六证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.概述3【知识导图】[考情展望]1.在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角形法则.2.以四种命题及充分必要条件为知识载体，考查向量的有关概念.3.借助共线向量定理探求点线关系或求参数的值．1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．2．零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．平面向量平面向量的定义大小方向相关概念单位向量零向量平行向量与共线向量线性运算三角形法则平行四边形法则数乘平面向量基本定理共线的充要条件教学过程一、导入二、知识讲解知识点1．向量的有关概念4向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb[拓展延伸]向量加减法运算的两个关键点：加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，并可推广为多个向量相加的“多边形法则”；减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量”．向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.巧用系数判共线OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1；反之，也成立．知识点2向量的线性运算知识点3平面向量共线定理5【题干】给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等.则所有正确命题的序号是()A.①B.③C.①③D.①②【答案】A【解析】根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误.【题干】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的中线，𝐸为𝐴𝐷的中点，则𝐸𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=A．34𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑−14𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑B．14𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑−34𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑C．34𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+14𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑D．14𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+34𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得𝐵𝐸⃑⃑⃑⃑⃑=12𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑+12𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=12𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑+12(𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑)=12𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑+14𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑+14𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=34𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑+14𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑，所以𝐸𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=34𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑−14𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑，故选A.【题干】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若BE→＝λBA→＋μBD→(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于()三、例题精析例题1例题2例题36A.1B.34C.23D.12【答案】B【解析】∵E为线段AO的中点，∴BE→＝12BA→＋12BO→＝12BA→＋12×12BD→＝12BA→＋14BD→＝λBA→＋μBD→，∴λ＋μ＝12＋14＝34.【题干】设平面向量𝑎,𝑏⃑不共线，若𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑＝𝑎＋5𝑏⃑，𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑＝－2𝑎＋8𝑏⃑，𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑＝3(𝑎−𝑏⃑)，则A．𝐴,𝐵,𝐷三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线【答案】A【解析】因为𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=𝑎+5𝑏⃑，𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=−2𝑎+8𝑏⃑，𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑=3(𝑎−𝑏⃑)，𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑=(𝑎+5𝑏⃑)+(−2𝑎+8𝑏⃑)+3(𝑎−𝑏⃑)=2(2𝑎+5𝑏⃑)=2𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑，∴𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑与𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑共线，即𝐴,𝐵,𝐷三点共线，故选A.【题干】如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设𝑃𝐺⃑⃑⃑⃑⃑=𝜆𝑃𝑄⃑⃑⃑⃑⃑，将𝑂𝐺⃑⃑⃑⃑⃑用𝜆，𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑，𝑂𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑表示；(2)设𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=𝑥𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑，𝑂𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑦𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑，证明：1𝑥+1𝑦是定值．【答案】（1）见解析；（2）见解析例题4例题57【解析】(1)解＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①另一方面，∵G是△OAB的重心，∴＝＝×(＋)＝＋.②而，不共线，∴由①②，得解得∴＋＝3(定值)．1.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于()A.OM→B.2OM→C.3OM→D.4OM→【答案】D【解析】OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝(OA→＋OC→)＋(OB→＋OD→)＝2OM→＋2OM→＝4OM→.2.设向量𝑒1⃑⃑⃑,𝑒2⃑⃑⃑不共线，向量𝜆𝑒1⃑⃑⃑+2𝑒2⃑⃑⃑与𝑒1⃑⃑⃑+4𝑒2⃑⃑⃑平行，则实数𝜆=__________．【答案】12【解析】∵𝜆𝑒1⃑⃑⃑+2𝑒2⃑⃑⃑与𝑒1⃑⃑⃑+4𝑒2⃑⃑⃑平行，𝑒1⃑⃑⃑,𝑒2⃑⃑⃑向量不共线，∴存在实数k使得𝜆𝑒1⃑⃑⃑+2𝑒2⃑⃑⃑=k（𝑒1⃑⃑⃑+4𝑒2⃑⃑⃑）=k𝑒1⃑⃑⃑+4k𝑒2⃑⃑⃑，∴{𝜆=𝑘2=4𝑘⇒𝜆=12.．故答案为：12．3.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→四、课堂运用基础8【答案】A【解析】∵E是AD的中点，∴EA→＝－12AD→，∴EB→＝EA→＋AB→＝－12AD→＋AB→，又知D是BC的中点，∴AD→＝12(AB→＋AC→)，因此EB→＝－14(AB→＋AC→)＋AB→＝34AB→－14AC→.1.如图所示，已知AC→＝3BC→，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则下列等式中成立的是()A.c＝32b－12aB.c＝2b－aC.c＝2a－bD.c＝32a－12b【答案】A【解析】因为AC→＝3BC→，OA→＝a，OB→＝b，所以OC→＝OA→＋AC→＝OA→＋32AB→＝OA→＋32(OB→－OA→)＝32OB→－12OA→＝32b－12a.2.已知𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=𝑎+2𝑏⃑,𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=−5𝑎+8𝑏⃑,𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑=8𝑎−2𝑏⃑，则一定共线的三点是()A．A、B、CB．A、B、DC．A、C、DD．B、C、D【答案】B【解析】对于A，由于向量𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑,𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑不共线，所以A、B、C三点不共线，故A不正确．对于B，由题意得𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑+𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑=3𝑎+6𝑏⃑，又𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=𝑎+2𝑏⃑，所以𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑,𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线，从而得到A、B、D三点共线，故B正确．对于C，由题意得𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=−4𝑎+10𝑏⃑，又𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑=8𝑎−2𝑏⃑，所以𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑,𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑不共线，故A、C、D三点不共线，所以C不正确．对于D，由题意得𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑,𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑不共线，所以B、C、D三点不共线．故选B．巩固93.设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.【答案】－12【解析】依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，所以1－2k＝0，k＋λ＝0，解得k＝12，λ＝－12.4.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()A.a－12bB.12a－bC.a＋12bD.12a＋b【答案】D【解析】连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD→＝12AB→＝12a，所以AD→＝AC→＋CD→＝b＋12a.1.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC→＝3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，则x的取值范围是()A.0，12B.0，13C.－12，0D.－13，0【答案】D【解析】设CO→＝yBC→，因为AO→＝AC→＋CO→＝AC→＋yBC→＝AC→＋y(AC→－AB→)＝－yAB→＋(1＋y)AC→.因为BC→＝3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y∈0，13，拔高10因为AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，所以x＝－y，所以x∈－13，0.2.如图，已知圆𝑂的方程为𝑥2+𝑦2=4，过点𝑃(0,1)的直线𝑙与圆𝑂交于点𝐴,𝐵，与𝑥轴交于点𝑄，设𝑄𝐴⃑⃑⃑⃑⃑=𝜆𝑃𝐴⃑⃑⃑⃑⃑,𝑄𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=𝑢𝑃𝐵⃑⃑⃑⃑⃑，求证：𝜆+𝑢为定值.【答案】证明见解析.【解析】当𝐴𝐵与𝑥轴垂直时，此时点𝑄与点𝑂重合，从而𝜆=2，𝑢=23，𝜆+𝑢=83.当点𝑄与点𝑂不重合时，直线𝐴𝐵的斜率存在.设直线𝐴𝐵的方程为𝑦=𝑘𝑥+1，𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，则𝑄(−1𝑘,0).由题设，得𝑥1+1𝑘=𝜆𝑥1,𝑥2+1𝑘=𝑢𝑥2，即𝜆=1+1𝑥1𝑘,𝑢=1+1𝑥2𝑘.所以𝜆+𝑢=1+1𝑥1𝑘+1+1𝑘𝑥2=2+𝑥1+𝑥2𝑘𝑥1𝑥2将𝑦=𝑘𝑥+1代入𝑥2+𝑦2=4，得(1+𝑘2)𝑥2+2𝑘𝑥−3=0，则𝛥0，𝑥1+𝑥2=−2𝑘1+𝑘2，𝑥1𝑥2=−31+𝑘2，所以�