光学信息技术原理及应用课后答案

1第一章习题解答1.1已知不变线性系统的输入为xxgcomb系统的传递函数bfΛ。若b取（1）.b（2）.b，求系统的输出xg'。并画出输出函数及其频谱的图形。答：（1）xxgδF图形从略，（2）xscoffδfδxgxxxπδF图形从略。1.2若限带函数yx,f的傅里叶变换在长度L为宽度W的矩形之外恒为零，（1）如果La，Wb，试证明yxfyxfbxaxab,,sincsinc证明：yx,fbxsincaxsincabbfafrectyxfyx,fbfafrectyxfWfLfrectyxfyx,fyxyxyx,,FF,,F,,FF1-（2）如果La，Wb，还能得出以上结论吗？答：不能。因为这时yxyxbfafrectyxfWfLfrectyxf,,F,,F。1.3对一个空间不变线性系统，脉冲响应为yxyxhsinc,试用频域方法对下面每一个输入yxfi,，求其输出yxgi,。（必要时，可取合理近似）2（1）xyxfcos,答：xcosxcosfrectxcosy7xsinxcosyxhyxfyxgxπππδπFFFFFFF,F,FF,（2）yrectxrectxcosyxfπ,答：yrectxrectxcosfrectfsinc75fsincxcosy7xsinyrectxrectxcosyxhyxfyxgxyxππδπFFFFF,F,FF,（3）xrectxcosyxfπ,答：xrectf75fsincfrectf75fsincfrectfδ75fsincffxfrectfδ75fsincxcosy7xsinxrectxcosyxgyxxyxxyxxxxyxδδδδδπδπFFFFFFFF,（4）yrectxrectxcombyxf,答：xπ6cosxπ2cosfffffffffffrectffδffδffδffδfrectfsinc2fsincffcomby7xsinyrectxrectxcombyxgyxyxyxyxyxxyxyxyxyxxyxyx...,.,.,.,.,F,.,.,.,FFFFF,δδδδ0.25δδδ1.4给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波3xxrectxcombxgiΛ对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。（1）ffHrect（2）fffHrectrect答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形21()()()()()3350(3)50sin(50)sinixxGfgxcombrectxcombfcfcfFFF方括号内函数频谱图形为：f1212353432135343233150图1.4（1）fc2sin图形为：4f13213312310.6850.170.041图1.4（2）因为fc2sin的分辨力太低，上面两个图纵坐标的单位相差50倍。两者相乘时忽略中心五个分量以外的其他分量，因为此时fc2sin的最大值小于0.04%。故图解)(fG频谱结果为：f3213233150G(f)50*0.68550*0.171图1.4（3）传递函数（1）形为：5f111图1.4（4）因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为：)32()32(171.0)50(sin50)31()31(685.0)(fffcfff其反变换，即输出函数为：)50(322cos342.032cos37.11xrectxx该函数为限制在25,25区间内，平均值为1，周期为3，振幅为1.37的一个余弦函数与周期为1.5，振幅为0.342的另一个余弦函数的叠加。传递函数（2）形为：f1图1.4（5）6此时，输出函数仅剩下在1,2及2,1两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数的频谱很小，相对于传递函数（2）在1,1的零值也是不能忽略的，由于027.0)35(sin043.0)34(sin22cc可以解得，通过传递函数（2）得到的输出函数为：)50(352cos027.0342cos043.0xrectxx该函数依然限制在25,25区间内，但其平均值为零，是振幅为0.043，周期为0.75，的一个余弦函数与振幅为0.027，周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。1.5若对二维函数axayxhsinc,抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。答：yxfδafaxsincayxhΛF,FYaBXx;也就是说，在X方向允许的最大抽样间隔小于1/2a，在y方向抽样间隔无限制。1.6若只能用ba表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即byaxYyXxyxgyxgsrectrectcombcomb,,试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复yxg,。答：因为ba表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复yxg,也有贡献，不可省略。1.7若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”xyxf,，系统对线脉冲的输出响应称为线响应xL。如果系统的传递函数为yxffH,，证明：线响应的一维傅里叶变换等于7系统传递函数沿xf轴的截面分布0,xfH。证明：0,,,yδxyxyfHffHfyxhxLFF1.8如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间xxBf，yyBf之外恒为零，系统输入为非限带函数yxg,，输出为yxg,'。证明，存在一个由脉冲的方形阵列构成的抽样函数yxg,'，它作为等效输入，可产生相同的输出yxg,'，并请确定yxg,'。答：为了便于从频率域分析，分别设：物的空间频谱00(,){(,)}xyAffgxyF；像的空间频谱(,){(,)}ixyiAffgxyF；等效物体的空间频谱00'(,){'(,)}xyAffgxyF；等效物体的像的空间频谱00'(,){'(,)}.xyAffgxyF由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在,xxyyfBfB之外恒为零，故可将其记为：(,)22yxxyxyffHffrectrectBB、利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为0(,)(,)22(,)yxxyxyxyixyffAffHffrectrectBBAff在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期作为等效物的谱，办法是把0(,)22yxxyxyffAffrectrectBB安置在xyff平面上成矩形格点分布的每一个(2,2)xyBnBm点周围，选择矩形格点在xf、yf方向上的间隔分别为2xB和2yB,以免频谱混叠，于是00'(,)(,)2,222yxxyxyxxyynmxyffAffAffrectrectfBnfBnBB801(,)22422yyxxxyxyxyxyffffAffrectrectcombcombBBBBBB（1）对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许0'(,)xyAff的中央一个周期成份（0nm）通过，所以成像的谱并不发生变化，即0'(,)(,)22yxxyxyxyffAffHffrectrectBB'(,)ixyAff(,)ixyAff图1.8用一维形式表示出系统在频域分别对0A和0'A的作用，为简单计，系统传递函数在图中表示为2xxfrectB。2BXBX-BXBX-BXBX-BXBX-BX-BXA'i(fX)=A0(fX)H(fX)Ai(fX)=A0(fX)H(fX)fXfXBXfXfX11H(fX)H(fX)fXfXA0(fX)图题1.8既然，成像的频谱相同，从空间域来看，所成的像场分布也是相同的，即'(,)(,)iiUxyUxy00'()()2XXXXfAfAfrectB*(2)XXfBn9因此，只要求出0'(,)XYAff的逆傅立叶变换式，就可得到所需的等效物场，即100'(,)'(,)XYUxyAffF带入（1）式，并利用卷积定理得到11001'(,)(,)22422XYXYXYXYXYXYffffUxyAffrectrectcombcombBBBBBBFF10(,)(2)(2)22XYXYXYXYffAffrectrectcombBxcombByBBF（2）上式也可以从抽样定理来解释。0(,)22XYXYXYffAffrectrectBB是一个限带的频谱函数，它所对应的空间域的函数可以通过抽样，用一个点源的方形阵列来表示，若抽样的矩形格点的间隔，在x方向是12XB，在y方向是12YB，就得到等效物场0'(,)Uxy10(,)22XYXYXYffAffrectrectBBF0(,)4sin(2)sin(2)XYXYUxyBBcBxcBy04(,)sin[2()]sin[2()]XYXyBBUcBxcBydd；（3）(2)(2)XYcombBxcombBy1,422nmXYXYnmxyBBBB（4）把（3）、（4）式代入（2）式，得到00'(,)(,)sin[2()]sin[2()],22XYnmXYn