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小学数学中部分易混概念辨析环西小学张璐2018年5月一、小学数学概念及其表现形式（一）学习数学概念的意义1.小学数学概念是小学数学基础知识的重要组成部分。2.小学数学概念是学习其他数学知识的基础。3.小学数学概念教学对培养学生的思维能力能起重要作用。（二）数学概念数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。表现形式在小学阶段主要是两种：1、定义式2、描述式小学数学概念的表现形式定义式：用确切而简要的语言揭示概念的内涵或外延的方法。（概念的内涵是指概念所反映对象的特性和本质属性，外延是指概念所反映对象的具体范围）。如：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。有一个角是直角的平行四边形叫做长方形。一组邻边相等的长方形叫做正方形。只有一组对边平行的四边形叫做梯形。描述式：用一些生动、具体的语言对概念进行描述。（主要是对概念的特征进行描述）一般原始的概念，和在小学中不可能用具体的数学语言来定义的，多数用描述式。如：“我们在数物体的时候，用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5……叫自然数”；“象1.25、0.726、0.005等都是小数”等。。数与代数的主线从数及数的运算到代数式及运算，再到方程、函数。。。在数的认识中整数、小数、分数及运算到有理数，乘方、开方。。。方法的抽象和运算的抽象。数的扩展数的概念经历了几次扩展？数系（一个数集连同相应的运算及结构叫做数系）经历了五次扩展：（1）扩大的自然数（a-a→0）（2）非负有理数（a/b→正分数）（3）有理数（四则运算→负有理数）（4）实数（x2-2=0，在有理数集无解→无理数）（5）复数（x2+1=0，在实数集无解→虚数）自然数（非负整数）1.数与数字；；2.数位、位数与计数单位；3.整除与除尽；4.因数与倍数；5.奇数与偶数；6.质数与合数；7.质数与互质数；8.质因数与分解质因数；9.最大公因数和最小公倍数；1.数与数字数字：是用来记数的符号。如：中国数字、阿拉伯数字、罗马数字、英文数字等等。数：是表示事物的量的基本数学概念。如:自然数、整数、有理数等等。教学时要正确使用这两个概念：如：3+2＝5不能说成是3和2两个数字相加；十位上的数相加，不能说成十位上的数字相加。数和数字是两个不同的概念，它们有区别，又有联系。1.写数时，离不开数字；2.用数字记数时，有一定的记数方法和组数规则；3.不同的记数系统可以使用相同的数字；（如十进制和二进制都会用到数字“0”和“1”）4.同一个数在不同的记数系统中有不同的表示；如10（二进制是2,八进制，十进制）5.在相应的记数系统中，数字位置决定了它所表示的值。2.数位、位数与计数单位；数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。与十进制的计数单位相对应的数位是个位、十位……位数：是指一个自然数中含有数位的个数。计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。争议的问题最小的个位数是几？10-90.23可以说是两位数码？观点一：小数是数，那么两位小数，也是两位数。观点二，几位数是对自然数而言的，所以不对。3.整除与除尽；4.因数与倍数；对于整数a和正整数b，如果存在一个整数q，使得等式a=bq成立，我们就说b整除a（或a被b整除）。a叫做b的倍数。b叫做a约数。（因数）倍数和因数是相互依存的。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。思考：以上问题又涉及哪些概念？在“数的整除”中哪些概念易混淆？如何区别？判断：①如果甲数是乙数的5倍，那么乙数一定是甲数的因数。（）②一个自然数，不是质数就是合数。（）③所有的奇数都是质数，所有的偶数都是合数。（）④一个数的倍数一定大于它的因数。（）⑤两个数的最小公倍数是这两个数的最大公因数的倍数。（）⑥有公因数1的两个数是互质数。（）⑦两个合数一定不是互质数。（）⑧一个数的质因数都是质数。（）5.整除与除尽（1）观察并分类：①12÷7=1……5②6÷5=1.2③15÷3=5④24÷2=12整数a除以整数b(b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。整除与除尽都是没有余数的除法,但它们的含义是不同的。“整除”是“除尽”的一种特殊情况，能整除的一定能除尽，能除尽的却不一定能整除。7.奇数和偶数自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。（偶数的表现形式是：2n；奇数的表现形式是：2n+1,所以0是偶数，n是自然数。）8.质数与合数一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1.9.质数与互质数公因数只有1的两个数，叫做互质数。成互质关系的两个数，有下列几种情况的一定互质：①1和任何自然数互质。②相邻的两个自然数互质。③两个不同的质数互质。④当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。质数是针对一个数而言,如5是质数；互质数是针对两个数来说的,如3和4是互质数,8和9是互质数。如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。10.质因数与分解质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。例如15=3×5，3和5叫做15的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：把28分解质因数28=2×2×711.最大公因数和最小公倍数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。例如：12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公因数，6是它们的最大公因数。如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。如：2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……；3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。12.能被2、3、5、9、4、25、8、125整除的数的特征个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。个位上是0或5的数，都能被5整除。一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。（如：12、108、204）一个数各位上的数的和能被9整除，这个数就能被9整除。（如：207、1926）能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。小数（1）小数的意义（2）小数的分类小数的意义小数：把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数分三个部分1、整数部分2小数点3小数部分整数部分小数点小数部分…级级级数位…位位位位位位位位位位十位个位十分位位位位…计数单位…十一(个)十分之一…争议问题小数和小数部分的区别0.45的最高位是什么？小数部分最大的计数单位是什么？小数的分类：（1）纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。如：0.25、0.368都是纯小数。（2）带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。如：3.25、5.26都是带小数。（3）有限小数：小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。例如：41.7、25.3、0.23都是有限小数。（4）无限小数：小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。例如：4.33……3.1415926……（7）纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如：3.111……0.5656……（8）混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。3.1222……0.03333……注意：写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。0.54545……它的循环节是什么？（5）无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。例如：π（6）循环小数：一个数的小数部分，从某一位起向右,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。例如：3.555……0.0333……12.109109……循环节：一个循环小数的小数部分，从某一个数开始，有一个数字或者几个数字，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如：3.99……的循环节是“9”，0.5454……的循环节是“54”。思考与讨论小学数学中包括哪些数？这样分类有什么问题？整数正整数负整数自然数0分数(百分数)真分数假分数（带分数）小数有限小数纯小数带小数无限小数循环小数纯循环小数混循环小数无限不循环小数数分数（1）分数的意义（2）分数单位（3）分数的分类（4）小数与分数的关系分数的意义：分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。分数的分类：（1）真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。（0除外）（2）假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。（3）带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。1、纯循环小数的化法，如：最后化简。举例如下：纯循环小数和混循环小数化分数的方法：0.ab=0.3====0.81=1+=1+=1.2060.20699920619992069331998111999ab1.4189=1+=2、混循环小数的化法，如：最后化简。举例如下：纯循环小数和混循环小数化分数的方法：0.abc=0.51===0.2954==19990418517431=abc－a99051－590469023454189－499902954－2999001344小数与分数的关系3.约分与通分约分：把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数。分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数。相同点：都是依据分数的基本性质将其化成等值分数。不同点：约分是用相同的数（0除外）同时整除分数的分子和分母；通分是把分数的分子和分母同时乘相同的整数（0除外）；约分是就个体而言，通分是对群体而言。比与比例分数除法与比；化简整数比与求比值。名称比分数除法形式a：ba÷b联系前项分子被除数比号分数线除号后项分母除数比值分数值商比的基本性质分数的基本性质商不变性质区别两个数的关系一个数一种运算ab13.分数、除法与比的联系与区别？.化简比与求比值的区别化简比的结果必须是一个比，只是化简后的比的前项和后项是互质的整数。可用（真、假）分数或比的形式来表示。求比值的结果是一个数，可以是小数、整数、（真、带）分数。方法上也有所不同：化简比可根据比的基本性质，也可用求比值的方法（前项除以后项）