几何模型:阿氏圆最值模型【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”,如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆”.ABPO【模型建立】如图1所示,⊙O的半径为R,点A、B都在⊙O外,P为⊙O上一动点,已知R=25OB,连接PA、PB,则当“PA+25PB”的值最小时,P点的位置如何确定?解决办法:如图2,在线段OB上截取OC使OC=25R,则可说明△BPO与△PCO相似,则有25PB=PC。故本题求“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值,其中与A与C为定点,P为动点,故当A、P、C三点共线时,“PA+PC”值最小。【技巧总结】计算PAkPB的最小值时,利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题:在圆上找一点P使得PAkPB的值最小,解决步骤具体如下:1.如图,将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,OB2.计算出这两条线段的长度比OPkOB3.在OB上取一点C,使得OCkOP,即构造△POM∽△BOP,则PCkPB,PCkPB4.则=PAkPBPAPCAC,当A、P、C三点共线时可得最小值典题探究启迪思维探究重点例题1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以点C为圆心,2为半径作圆C,分别交AC、BC于D、E两点,点P是圆C上一个动点,则12PAPB的最小值为__________.EABCDPMPDCBA【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA,此处P点轨迹是圆,注意到圆C半径为2,CA=4,连接CP,构造包含线段AP的△CPA,在CA边上取点M使得CM=2,连接PM,可得△CPA∽△CMP,故PA:PM=2:1,即PM=12PA.问题转化为PM+PB≥BM最小值,故当B,P,M三点共线时得最小值,直接连BM即可得13.变式练习1.如图1,在RT△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,圆C的半径为2,点P为圆上一动点,连接AP,BP,求①BPAP21,②BPAP2,③BPAP31,④BPAP3的最小值.[答案]:①=37,②=237,③=3372,④=237.例题2.如图,点C坐标为(2,5),点A的坐标为(7,0),⊙C的半径为10,点B在⊙C上一动点,ABOB55的最小值为________.[答案]:5.变式练习2.如图,在平面直角坐标系xoy中,A(6,-1),M(4,4),以M为圆心,22为半径画圆,O为原点,P是⊙M上一动点,则PO+2PA的最小值为________.[答案]:10.例题3.如图,半圆的半径为1,AB为直径,AC、BD为切线,AC=1,BD=2,P为上一动点,求PC+PD的最小值.【解答】解:如图当A、P、D共线时,PC+PD最小.理由:连接PB、CO,AD与CO交于点M,∵AB=BD=4,BD是切线,∴∠ABD=90°,∠BAD=∠D=45°,∵AB是直径,∴∠APB=90°,∴∠PAB=∠PBA=45°,∴PA=PB,PO⊥AB,∵AC=PO=2,AC∥PO,∴四边形AOPC是平行四边形,∴OA=OP,∠AOP=90°,∴四边形AOPC是正方形,∴PM=PC,∴PC+PD=PM+PD=DM,∵DM⊥CO,∴此时PC+DP最小=AD﹣AM=2﹣=.变式练习3.如图,四边形ABCD为边长为4的正方形,⊙B的半径为2,P是⊙B上一动点,则PD+PC的最小值为5;PD+4PC的最小值为10.【解答】解:①如图,连接PB、在BC上取一点E,使得BE=1.∵PB2=4,BE•BC=4,∴PB2=BE•BC,∴=,∵∠PBE=∠CBE,∴△PBE∽△CBE,∴==,∴PD+PC=PD+PE,∵PE+PD≤DE,在Rt△DCE中,DE==5,∴PD+PC的最小值为5.②连接DB,PB,在BD上取一点E,使得BE=,连接EC,作EF⊥BC于F.∵PB2=4,BE•BD=×4=4,∴BP2=BE•BD,∴=,∵∠PBE=∠PBD,∴△PBE∽△DBP,∴==,∴PE=PD,∴PD+4PC=4(PD+PC)=4(PE+PC),∵PE+PC≥EC,在Rt△EFC中,EF=,FC=,∴EC=,∴PD+4PC的最小值为10.故答案为5,10.例题4.如图,已知正方ABCD的边长为6,圆B的半径为3,点P是圆B上的一个动点,则12PDPC的最大值为_______.ABCDP【分析】当P点运动到BC边上时,此时PC=3,根据题意要求构造12PC,在BC上取M使得此时PM=32,则在点P运动的任意时刻,均有PM=12PC,从而将问题转化为求PD-PM的最大值.连接PD,对于△PDM,PD-PM<DM,故当D、M、P共线时,PD-PM=DM为最大值152.ABCDPMMPDCBAABCDPMMPDCBA变式练习4.(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那么PD+的最小值为,PD﹣的最大值为.(2)如图2,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,那么PD+的最小值为,PD﹣的最大值为.图1图2【解答】解:(1)如图3中,在BC上取一点G,使得BG=4.∵==,==,∴=,∵∠PBG=∠PBC,∴△PBG∽△CBP,∴==,∴PG=PC,∴PD+PC=DP+PG,∵DP+PG≥DG,∴当D、G、P共线时,PD+PC的值最小,最小值为DG==.∵PD﹣PC=PD﹣PG≤DG,当点P在DG的延长线上时,PD﹣PC的值最大,最大值为DG=.故答案为,(2)如图4中,在BC上取一点G,使得BG=1,作DF⊥BC于F.∵==2,==2,∴=,∵∠PBG=∠PBC,∴△PBG∽△CBP,∴==,∴PG=PC,∴PD+PC=DP+PG,∵DP+PG≥DG,∴当D、G、P共线时,PD+PC的值最小,最小值为DG,在Rt△CDF中,∠DCF=60°,CD=4,∴DF=CD•sin60°=2,CF=2,在Rt△GDF中,DG==∵PD﹣PC=PD﹣PG≤DG,当点P在DG的延长线上时,PD﹣PC的值最大(如图2中),最大值为DG=.故答案为,.例题5.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A(﹣4,﹣4),B(0,4)两点,直线AC:y=﹣12x﹣6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G.(1)求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式;(2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标;(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标;②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求12AM+CM它的最小值.【解答】解:(1)∵点A(﹣4,﹣4),B(0,4)在抛物线y=﹣x2+bx+c上,∴,∴,∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4;(2)设直线AB的解析式为y=kx+n过点A,B,∴,∴,∴直线AB的解析式为y=2x+4,设E(m,2m+4),∴G(m,﹣m2﹣2m+4),∵四边形GEOB是平行四边形,∴EG=OB=4,∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4,∴m=﹣2,∴G(﹣2,4);(3)①如图1,由(2)知,直线AB的解析式为y=2x+4,∴设E(a,2a+4),∵直线AC:y=﹣12x﹣6,∴F(a,﹣12a﹣6),设H(0,p),∵以点A,E,F,H为顶点的四边形是矩形,∵直线AB的解析式为y=2x+4,直线AC:y=﹣12x﹣6,∴AB⊥AC,∴EF为对角线,∴12(﹣4+0)=12(a+a),12(﹣4+p)=12(2a+4﹣12a﹣6),∴a=﹣2,P=﹣1,∴E(﹣2,0).H(0,﹣1);②如图2,由①知,E(﹣2,0),H(0,﹣1),A(﹣4,﹣4),∴EH=5,AE=25,设AE交⊙E于G,取EG的中点P,∴PE=52,连接PC交⊙E于M,连接EM,∴EM=EH=,∴525PEME=12,∵525MEAE=12,∴PEMEMEAE=12,∵∠PEM=∠MEA,∴△PEM∽△MEA,∴PEMEMEAE=12,∴PM=12AM,∴12AM+CM的最小值=PC,设点P(p,2p+4),∵E(﹣2,0),∴PE2=(p+2)2+(2p+4)2=5(p+2)2,∵PE=52,∴5(p+2)2=54,∴p=52或p=﹣32(由于E(﹣2,0),所以舍去),∴P(52,﹣1),∵C(0,﹣6),∴PC==552,即:12AM+CM=552.变式练习5.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.(1)求a的值和直线AB的函数表达式;(2)设△PMN的周长为C1,△AEN的周长为C2,若=,求m的值;(3)如图2,在(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α(0°<α<90°),连接E′A、E′B,求E′A+E′B的最小值.【解答】解:(1)令y=0,则ax2+(a+3)x+3=0,∴(x+1)(ax+3)=0,∴x=﹣1或﹣,∵抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),∴﹣=4,∴a=﹣.∵A(4,0),B(0,3),设直线AB解析式为y=kx+b,则,解得,∴直线AB解析式为y=﹣x+3.(2)如图1中,∵PM⊥AB,PE⊥OA,∴∠PMN=∠AEN,∵∠PNM=∠ANE,∴△PNM∽△ANE,∴=,∵NE∥OB,∴=,∴AN=(4﹣m),∵抛物线解析式为y=﹣x2+x+3,∴PN=﹣m2+m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m,∴=,解得m=2.(3)如图2中,在y轴上取一点M′使得OM′=,连接AM′,在AM′上取一点E′使得OE′=OE.∵OE′=2,OM′•OB=×3=4,∴OE′2=OM′•OB,∴=,∵∠BOE′=∠M′OE′,∴△M′OE′∽△E′OB,∴==,∴M′E′=BE′,∴AE′+BE′=AE′+E′M′=AM′,此时AE′+BE′最小(两点间线段最短,A、M′、E′共线时),最小值=AM′==.达标检测领悟提升强化落实1.如图,在RT△ABC中,∠B=90°,AB=CB=2,以点B为圆心作圆与AC相切,圆C的半径为2,点P为圆B上的一动点,求PCAP22的最小值.[答案]:5.2.如图,边长为4的正方形,内切圆记为⊙O,P是⊙O上一动点,则2PA+PB的最小值为________.[答案]:25.3.如图,等边△ABC的边长为6,内切圆记为⊙O,P是⊙O上一动点,则2PB+PC的最小值为________.[答案]:372.4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=3,CB=4,C的半径为2,点P是C上的一动点,则12APPB的最小值为?5.如图,在平面直角坐标系中,2,0A,0,2B,4,0C,3,2D,P是△AOB外部第一象限内的一动点,且∠BPA=135°,则2PDPC的最小值是多少?[答案]426.如图,Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=2,以C为顶点的正方形CDEF(C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列)可以绕点C自由转动,且CD=,连接AF,BD(1)求证:△BDC≌△AFC;(2)当正方形CDEF有顶点在线段AB上时,直接写出BD+AD的值;(3)直接写出正方形CDEF旋转过程中,BD+AD的最小值.【解答】(1)证明:如图1中,∵四边形CDEF是正方形,∴CF=CD,∠DCF=∠ACB=90°,∴∠ACF=∠DCB,∵AC=CB,∴△FCA≌△DCB(SAS).(2)解:①如图2中,当点D,E在AB边上时,∵AC=BC=2,∠ACB=9