电价问题的模型求解

电价问题的模型求解本次训练要求：1、认真阅读讨论，彻底弄懂模型的建立过程。2、学会用Lingo软件编程求解数学规划模型。3、用Lingo软件求解电力定价问题的数学规划模型。4、按照题目要求写出求解报告电价问题原题：几个发电站负责满足下述电力负荷要求。在一天中，0点至6点15000（MW，兆瓦，下同）6点至9点300009点至15点2500015点至18点4000018点至24点27000有三种类型的发电机可投入运输。1型有12台，2型10台，3型5台。表一给出了有关的数据。表1类型最低水平最高水平最低水平每小时费用最低水平以上每兆瓦每小时费用开动费用1850MW2000MW10002200021250MW1750MW26001.3100031500MW4000MW30003500表中第2，3两列分别给出各类发电机运转的最低水平和最高水平。各发电机运转的水平不能超出这一范围。第4列给出在最低水平运转的每小时费用。第5列为在高于最低水平运转时，每高出一兆瓦，每小时的费用。另外，每开动一发电机也需要费用，这给出在第6列。在满足估计的负载要求之外，在每一时刻运转着的发电机应足够多，使得当负载增加不超过15%时，能够通过调高运转着的发电机的输出（在最高水平所界定的范围内）满足增载的要求。试求在一天中的各段时间应使哪些发电机运转，使总费用最低？在一天中的每段时间，电力生产的边际费用（即增加一兆瓦发电所带来的费用）各为多少？也就是说应当为用电定什么价（经济学原理得到产品定价原则是：产品单价＝产品的边际费用）？将后备输出保证的指标15%加以降低，费用节省情况如何？也就是说这一供电保险措施的费用如何？建模要点二、电价问题的数学问题表述根据题意，电价问题可以分成三个数学规划问题，分别表述如下：（1）求在题目条件下的最小总运行费；（2）分析各段时间的需求单独增加一个兆瓦的需求所带来的最小总运行费增量，即在一天中的每段时间，电力生产的边际费用；（3）降低后备输出保证的指标所带来的费用改变，即15%依次降低到14％、13％等的费用改变。值得注意的是，在这个题目中隐含一个生产周而复始的条件。二、符号说明用i表示发电机的型号，则13i；用iJ表示第i型发电机的台数，则12312,10,5JJJ；用,iiLU分别表示第i型发电机的最低和最高发电量，则有123123(,,)(850,1250,1500);(,,)(2000,1750,4000);LLLUUU分别用,ttDT表示第t时段的需求量和时长，则有：15t12345(,,,,)(15000,30000,25000,40000,27000)DDDDDD12345(,,,,)(6,3,6,3,6)TTTTT分别用123,,iiiCCC表示第i型发电机的启动费、最低发电量的每小时运行费用和超过最低发电量时每多发电一兆瓦的每小时运行费用，则112131122232132333(,,)(2000,1000,500)(,,)(1000,2600,3000)(,,)(2,1.3,3)CCCCCCCCC记后备输出保证的指标为r。三、假设与模型建立假设：（1）每台发电机都只能在各时段的开始时刻启动，在各时段的结束时刻停机；（2）不考虑台发电机启动阶段和停机阶段的发电量改变；（3）每台发电机启动后的发电量在各时段保持为一个常数；（4）生产是周而复始的。设第i型第j台发电机在第t时段的发电量为ijtx，用1ijty表示在第t时段选择用第i型第j台发电机发电，否则0ijty（1,2,3;i1;15ijJt）。根据生产是周而复始的假设，每天的第一阶段（0～6时）的前一个阶段的生产情况和当天最后一个阶段（18～24时）的生产情况完全一致。因此，我们有关系式05ijijyy问题（1）的模型建立问题（1）可以表示为如下目标函数中含max算子的混合01规划问题（15%r）：535301(1)111111153311153111311()minmax{0,}max{,0},15(1),15..,13,1iiiiiJJiijtijtitijttijtijJitijtitijJijtttijJiijttijiijtijtiijtPZCyyCTyCTxLxDtUyrDtstLyxUyi,15{0,1},13,1,15iijtijJtyijJt模型解释：目标函数的说明根据题意知，目标函数由发电机的启动费、最低发电量运行费和超过最低发电量发电时的运行费三部分构成。这三部分费用中最低发电量运行费的计算最简单，不难得到第i型第j台发电机在第t时段的最低发电量运行费为（注意：题目中给出的费用是每小时的运行费）：(2)10,0(),ijtijtijtiiijtxfxCTLxUi首先，发电量的上限iU在约束条件中还要限制，这里我们可以忽略发电量的上限限制。其次，表达式右边实际上与发电量ijtx的具体取值无关，因此，我们可以利用0－1变量ijty把表达式改写为：(2)1()ijtijtitijtfxCTy超过最低发电量发电时的运行费的计算稍复杂一点。注意到每台i型发电机的发电量ijtx要么为零，要么至少为iL，因此，第i型第j台发电机在第t时段的超过最低发电量发电时的运行费(3)()ijtijtfx为：(3)0,0()(),ijtjitijtiijtiiijtixfxCTxLLxU尽管我们也可以0－1变量ijty把表达式改写为(3)()()jitijtiijtiijtfxCTxLy但是，这是一个非线性函数，在建立模型时应尽量避免，因此，我们把它改写为可以线性化0的含max算子的表达式(3)()max{,0}jitijtiijtifxCTxL发电机的启动费的计算。这是最困难的问题。为得到这个表达式，我们不妨跟踪某一台发电机，例如第1型第一台发电机在一天中运行状况。考察用来表示该发电机运行状况的变量111112113114,,,yyyy和115y的取值。列表如下：111y112y113y114y115y启动次数101002101012101111111110思考在每一行取值下，该发电机启动了几次？为什么？（特别要注意生产周而复始的条件！）由此可见，一台发电机在一天中的启动次数取决该发电机在相邻时段的状态改变，即11ty和11(1)ty的差。具体情况如下：1111(1)110111ttttyyttttt－第时段运行，第时段时停机第和时段都在运行，第时段未启动第时段停机，第时段时启动并运行因此，第1型第一台发电机在第t时段的启动费为(1)1111111(1)max{,0}tttfCyy一般地，我们有第i型第j台发电机在第t时段的启动费为(1)1(1)max{,0}ijtijtijtfCyy关于约束条件311(1),15iJiijttijUyrDt的说明：题目中“在满足估计的负载要求之外，在每一时刻运转着的发电机应足够多，使得当负载增加不超过15%时，能够通过调高运转着的发电机的输出（在最高水平所界定的范围内）满足增载的要求。”这段话的意思是已经启动发电机的剩余容量注意满足最多增加15％的需求量，也就是已经启动发电机满负荷发电时足以满足（也就是不小于）原来的需求与增加需求之和。注意到目标函数的优化方向min，我们用满足约束(1)0,ijtijtijtijtzzyy的变量ijtz代替目标函数中的(1)max{0,}ijtijtyy，用满足约束0,ijtijtijtiwwxL的变量ijtw代替目标函数中的max{0,}ijtixL问题0()P转化为：535311111111153311153111311(()min,15(1),15,13,1,15..iiiiiJJiijtitijttijtijJtiijttijJijtttijJiijttijiijtijtiijtiijtijtijtPZCzCTyTCwxDtUyrDtLyxUyijJtzyyst1),13,1,150,13,1,15,13,1,150,13,1,15{0,1},13,1,15iijtiijtijtiiijtiijtiijJtzijJtwxLijJtwijJtyijJt问题（2）的模型建立问题（2）可以转化为分别用(15)tDet（te是单位阵5E的第t行）代替问题1()P中的常数D时的最优解，即求解如下五个混合01规划问题（15t）535321211111153311153111311()min(),15(1)(),15,13,1,15..iiiiiJJtiitijttijtijJtiijtitijJijttttijJiijtttijiijtijtiijtiijtPZCCTwTCxLxDtUyrDtLyxUyijJtzst(1),13,1,150,13,1,15,13,1,150,13,1,15{0,1},13,1,15ijtijtiijtiijtijtiiijtiijtiyyijJtzijJtwxLijJtwijJtyijJt其中，10ttttt（16t）问题（3）的模型建立问题（3）转化为问题1()P中的常数r分别取值为14%、13%等时，最优值的改变量。注释：这个问题也可以根据“当选定启动某台发电机时，费用是关于发电量的线性函数”这一特点，进一步假定同类型被选中发电的发电量相等。在这个假定下，各时段的决策变量可以减少为6个，但是得到的模型是非线性整数规划。例如，问题（1）的模型为：535311(1)2111153311531131()minmax{,0}max{,0},15(1),15,13,15..{0,1},13,150iititiiittitiititititiititttiiittiiititiitititiQZCxxCTxCTxyLxyDtUyrDtLzyUzitstzitxJ,13,15,13,15ititxit其中，itx为第t时段启动的第i发电机台数，ity为第t时段每台启动的第i型发电机的发电量。由生产周而复始的假设知05,1,2,3iixxi。这是一个含max算子的非线性混合整数规划，可以仿照前面介绍的技巧，通过增加变量的方式消去max算子，得到一个非线性混合整数规划。和前面一样，我们也可以在此基础上，把问题（2）、（3）转化为一序列非线性混合整数规划问题来求解。众所周知，非线性规划往往只能得到局部最优解，因此，这个模型比前一个模型差。