1-4全概公式与贝叶斯公式

§1.4全概公式与贝叶斯公式综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0计算比较复杂事件的概率,它们实质上全概率公式和贝叶斯公式主要用于是加法公式和乘法公式的综合运用.例1设在某次世界女子排球赛中，中俄日古巴四队取得半决赛权，形势如下：中国队古巴队日本队俄罗斯队冠军中国队胜队现根据以往的战绩，假定中国队战胜日本队、俄罗斯队的概率分别为0.9与0.6，而日本队战胜俄罗斯队的概率为0.4，试问中国队取得冠军的可能性是多少？一、全概公式解：记A=“日本队胜”；B=“中国队胜”BB)(AABABBA)()(BAABPBP互斥与ABBA)()(BAPABP)()()()(ABPAPABPAP72.06.06.09.04.0得到在概率计算中常用的全概率公式.niiiABPAPBP1)()()(｜定理1（全概率公式）设随机试验E的样本空间，A1,A2,…,An为一完备事件组，且P(Ai)0，i=1,2,…,n,则对于任一事件B,有将此例中所用的方法推广到一般的情形，就证明：设A1,A2,…,An则A1+A2+…+An=对于任一事件B，有BBBAAAn)(21BABABAn21)(BP)(21BABABAPn)()()(21BAPBAPBAPn)()()()()()(2211nnABPAPABPAPABPAPniiiABPAP1)()(A1A3A5A2A6A4BA1BA2BA3BA4BA5BA6B为完备事件组，在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.全概率公式的来由,不难由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n)，例如B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是每一原因都可能导致B发生，故P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解概率的总和，即全概率公式.B发生的概率是各原因引起B发生例2设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产1/2，乙、丙两厂各生产1/4，而且各厂的次品率依次为2%，2%，4%，现从中任取一件，求取到次品的概率。解：设321,,AAA分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B表示次品，则321,,AAA构成完备事件组。25.0)()(,5.0)(321APAPAP04.0)(,02.0)(,02.0)(321ABPABPABP)()()()()()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP025.004.025.002.025.002.05.0玻璃杯的概率。例3玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2个次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随机取出一箱，顾客开箱任意抽查5只，若无次品，则购买该箱玻璃杯，否则退回。求顾客买下该箱分析：问题是求顾客买下玻璃杯的概率，假设B=顾客买下该箱玻璃杯，要买下这箱玻璃杯，与各箱的次品数有关，假设iA=该箱玻璃杯有i个次品（i=0，1，2）解：B=顾客买下该箱玻璃杯，则设iA=该箱玻璃杯有i个次品（i=0，1，2）,1.0)(,1.0)(,8.0)(210APAPAP,75.0)(,1)(52051910CCABPABP3821)(5205182CCABP38211.075.01.018.0)()()(20kkkABPAPBP9303.0760707二、贝叶斯公式（逆概公式）njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(｜｜定理2（贝叶斯公式）设随机试验E的样本空间，A1,A2,…,An为一完备事件组，且P(Ai)0，i=1,2,…,n,则对于任一事件B,有i=1,2,…,n,2311红4白?该球是取自1号箱的概率.Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;)()()|(11BPBAPBAP3111)()()|()(kkkABPAPABPAP｜13152315131513181例4有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求解：记B={取得红球}例如甲、乙两台机床生产数量很多的同一种产品，根据已有的资料及经验知道各机床产量占总产量的比例及各机床产品的废品率，现从这批产品中随机抽取一件，发现是废品，判断它是由哪台机床生产的？设A表示甲厂产品，B表示废品，已知)(AP),(AP),(ABP);(ABP由贝叶斯公式求出)(BAP的值，与)(BAP)(BAP若)(BAP则认为该废品是甲厂的产品。Bayes公式常用在判别方法，称为贝叶斯决策。例5某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则表示“抽查的人不患癌症”.CCC已知P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04解:设C={抽查的人患有癌症}，A={试验结果是阳性}，求P(C|A).现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得)|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP2.检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？04.0995.095.0005.095.0005.0=0.1066试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.P(C｜A)=0.1066njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(｜｜贝叶斯公式在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的验前概率和验后概率.P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。例6甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.设B={飞机被击落}Ai={飞机被i人击中},i=0，1,2,3由全概率公式P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)且B=A0B+A1B+A2B+A3B求解如下:依题意，P(B|A0)=0,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1则构成一个完备事件组3210,,,AAAA可求得:为求P(Ai),设Hi={飞机被第i人击中},i=1,2,3)()(3213213211HHHHHHHHHPAP)()(3213213212HHHHHHHHHPAP)()(3213HHHPAP将数据代入计算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.于是P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)=0.458=0×P(A0)+0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飞机被击落的概率为0.458.+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)例(敏感性问题的调查)学生考试作弊会严重影响学风和大学生身心健康发展，但这些都是避着教师进行的，属于不光彩行为，要调查考试作弊同学在全体学生中所占比率P是一件难事，这里关键是要设计一个调查方案，使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密，经过多年研究与实践，一些心理学家与统计学家设计了一种调查方案，这个方案的核心是如下两个问题。问题1：你的生日是否在7月1日之前？问题2：你是否在考试时作过弊？被调查者只需回答其中一个问题至于回答哪一个问题由被调查者事先从一个罐中随机抽取一只球，看过颜色后再放回，若抽出白球则回答问题1；若抽出红球则回答问题2，罐中只有白球与红球，且红球的比率是已知的，即P(红球)=，P(白球)=1-被调查者无论回答问题1还是问题2，只需在下面答卷上认可的方框内打勾，然后将答卷放入一只密封的投票箱内.是否答案上述抽球与答卷都是在一间无人的房间内进行的，任何外人都不知道调查者抽到什么颜色的球和在什么地方打勾，如果向被调查者讲清楚这个方案的做法，并严格执行，那么就容易被调查者确信他（她）参加这次调查不会泄露个人秘密，从而愿意参加调查.当有较多的人参加调查后，就可以打开投票箱进行统计.设有张答卷，其中张答“是”，于是回答“是”的比率是，可用频率去估计，记为nk(是)=，Pnk/这里答“是”有两种情况：一种是摸到白球后回答问题1答“是”，这是一个条件概率，它是“生日是否在7月1日之前”的概率，一般认为是0.5，即nk/ˆ(是)=0.5P白球另一种是摸到红球后回答问题2答“是”，这也是一个条件概率，它不是别的，就是考试作弊同学在全体学生中所占比率，即(是)=最后利用全概率公式把上述各项概率（或其估计值）联系起来(是)=(是白球)(白球)+(是红球)(红球)由此可获得感兴趣的比率pP红球pPPPPPˆ0.5(1)pppˆ[0.5(1)]/=注：像这类敏感性问题的调查是社会调查中的一类，如一群人中参加赌博的比率、吸毒人的比率等都可以参照此方法组织调查，获得感兴趣的比率.