阿波罗尼斯圆在高考中的应用

第1页阿波罗尼斯圆在高考中的应用在近几年的高考中，以阿波罗尼斯圆为背景的考题不断出现，备受命题者的青睐，下面我们通过一例高考题，讲解如何运用阿波罗尼斯圆进一步加强对与此圆与关试题的认识。一、背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.求证：到两定点的距离的比值是不等于1的常数的点的轨迹是圆.如图，点BA,为两定点，动点P满足PBPA，则1时，动点P的轨迹为直线；当1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．证明：设PBPAmmAB,02）（．以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则），，（0mA），（0mB．又设），（yxC，则由PBPA得:2222)()(ymxymx，两边平方并化简整理得:）（）（）（）（222222211121myxmx，当1时，0x，轨迹为线段AB的垂直平分线；当1时，22222222)1(4)11(mymx，轨迹为以点)0,11(22m为圆心，以122m长为半径的圆．二、问题呈现例1、（2015湖北理14）如图，圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点,AB（B在A的上方），且2AB．（Ⅰ）圆C的标准．．方程为；（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆22:1Oxy相交于,MN两点，下列三个结论：①NAMANBMB；②2NBMANAMB；③22NBMANAMB．其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）解析：（Ⅰ）易知半径2r，所以圆的方程为22122xy；（Ⅱ）方法一：yxOTCNAMB第2页因为圆心)2,1(C，)2,0(E又因为2AB，且E为AB中点，所以0,21,0,21AB因为,MN在圆22:1Oxy上，可设)sin,(cosM，)sin,(cosN所以：22)]12([sin)0(cosNA)sin2)(12(222)]12([sin)0(cosNB)sin2)(12(2所以：12)sin2)(12(2)sin2)(12(2NBNA,同理：12MBMA，所以：NAMANBMB1-2，①正确；2)12(121-MBMANANB,②正确22)12(121MBMANANB，③正确所以：①、②、③正确方法一可以改进为：设,Pxy为圆C上任意一点，则有：12)12(2224)12(2224)12()12(2222yyyxyxPBPA，①正确；同理2)12()12(-MBMANANB，②正确；22)12()12(MBMANANB，③正确.这里的第（Ⅰ）问并不很难,只要考生有一定平面几何基础既能轻易解出.但第（Ⅱ）问有难第3页度.这是因为当圆O的弦MN绕定点A旋转时,各有关线段的长度都在变化,从而相应线段的比值也就难于确定，方法一运算量较大。可是,如果你懂得阿波罗圆,且能看出图中的圆O正是一例阿波罗圆,则其解法同样是轻而易举的.方法二:如上图所示,在（Ⅰ）的基础上易得)12,0(A，)12,0(B，)1,0(),1,0(FE，于是2-2EA，2EB，所以1-2EBEA，2FA，22FB，所以1-2FBFA，所以：圆O是以A,B为两定点,且比值为21的阿波罗尼斯圆,故：NAMANBMB1-2，①正确2)12(121-MBMANANB,②正确22)12(121MBMANANB，③正确因此：①，②，③3个结论都成立.方法三：先引进一个概念----圆的反演点：己知圆O的半径为r，从圆心O出发任作一射线，在射线上任取两点M，N，mOM,nON且2rONOM，则称M，N是关于圆O的反演点。圆的反演点也可由以下几何方法获得，若M在圆外，过M作圆的两条切线，两切点的连线与OM的交点就是M的反演点N；若M在圆内，则连接OM，过点M作OM的垂线与圆交点处的两切线的交点即为M的反演点N.在（Ⅰ）的基础上易得：)12,0(A，)12,0(B，则有21rOBOA，则点A，B是圆22:1Oxy的一对反演点，第4页取圆O上一点)1,0(D，则有12222DBDA,所以圆O是以A，B为反演点，比例系数为12的阿波罗尼斯圆.即对圆22:1Oxy上任一点P，均有12PBPA，故有：NAMANBMB1-2，①正确2)12(121-MBMANANB,②正确22)12(121MBMANANB，③正确.练习1：（2008江苏卷13）若BCACAB22，，则ABCS的最大值为解法一：利用余弦定理和函数的最值问题处理设xBCAC22，所以：224222216242243cosxxxxxC，则：41624sin2124xxCabS，所以：当122x时，ABCS的最大值为22.该方法从余弦定理入手，虽然入手简单，但计算量较大，得分率不高.解法二：建立平面直角坐标系处理最值问题以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则），，（01A），（01B，设），（yxC，由BCAC2得2222121yxyx）（）（，整理得：88316222）（xxxy，∴22y，则22221ySABC，所以ABCS的最大值是22．解法三：利用阿波罗尼斯圆显然这是一例阿波罗尼斯圆，建立如图的直角坐标系，则），，（01A），（01B，因为2BCAC，得C的轨迹是一个阿波罗尼斯圆，计算得方程：2238xy，设圆心为M,，显然当xCM轴时，ABC面积最大，此时22,CM第5页max1222222ABCS.评注：既然ABC存在，说明其轨迹不包括与x轴的两个交点P，Q，现在问：P，Q这两点究竟有什么性质？由于2PACAPBCB，∴CP为ABC的内角平分线；同理，CQ为ABC的外角平分线.这就是说，P，Q分别是线段AB的内分点和外分点，而PQ正是阿氏圆的直径，于是“阿波罗尼斯圆”在我国又被称为“内外圆”．因此该题又有如下的简洁解法：因为动点C到定点），，（01A），（01B距离之比为2,则有121xx，解得：2231x或22-32x，所以2231x为内分点，2322x为外分点，圆半径211222rxx，即为三角形高的最大值，即ABC高的最大值是22，故ABC的面积的最大值是22.阿波罗尼斯圆是一个重要的题根,在历次高考中累累出现。我们在学习过程中应该强化对这一知识点的整理。如果掌握这一知识背景，可以主动引导求解的方向，降低求解的难度。但有些问题中，阿氏圆并不那么明显，需要对图形分析后才能找到对应的动点具有阿氏圆的特点.练习2：（2013江苏卷17）如图，在平面直角坐标系xOy中，点)3,0(A，直线42:xyl。设圆C的第6页半径为1，圆心在l上。（Ⅰ）若圆心C也在直线1xy上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在点M，使MOMA2，求圆心C的横坐标a的取值范围.