浙教版八年级下数学第五章《特殊平行四边形》中考试题(解答题)——顾家栋

1浙教版八年级下数学第五章《特殊平行四边形》中考试题——顾家栋解答题题型：解答题1.（2014四川巴中中考）如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．答案：（1）EH＝FH（2）BH＝EH方法技巧：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH＝FH，BE∥CF，∠EBH＝∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH＝EH时，四边形BFCE是矩形．解析：（1）答：添加：EH＝FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH＝CH，在△BEH和△CFH中，BH＝CH∠BHE＝∠CHFEH＝FH，∴△BEH≌△CFH（SAS）；（2）解：∵BH＝CH，EH＝FH，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）∵当BH＝EH时，则BC＝EF，∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．知识点：矩形的判定．题目难度：普通2题目分值：6分2.(2014山东威海中考)猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．答案：（1）DM＝DE（2）证明见解析方法技巧：猜想：延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM＝EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明．（1）延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM＝EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，（2）连接AE，AE和EC在同一条直线上，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明.解析：（1）猜想：DM＝ME如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM＝∠HAM，又∵∠FME＝∠AMH，FM＝AM，在△FME和△AMH中，∠EFM＝∠HAMFM＝AM∠FME＝∠AMH∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM＝EM，在Rt△HDE中，HM＝EM，∴DM＝HM＝ME，∴DM＝ME，3故答案为：DM＝ME．（2）如图2，连接AE，∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE＝45°，∠FCA＝45°，∴AE和EC在同一条直线上，在RT△ADF中，AM＝MF，∴DM＝AM＝MF，在RT△AEF中，AM＝MF，∴AM＝MF＝ME，∴DM＝ME．.知识点：四边形综合题.题目难度：较难题目分值：11分3.（2014湖北咸宁中考）如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（－4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）∠PBD的度数为_______，点D的坐标为_______（用t表示）；（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．答案：（1）45°，（t，t）（2）t为4秒或（42－4）秒（3）不变，周长为8方法技巧：（1）易证△BAP≌△PQD，从而得到DQ＝AP＝t，从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标．（2）由于∠EBP＝45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP＝AP＋CE．由于△PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t值．（3）由（2）已证的结论EP＝AP＋CE很容易得到△POE周长等于AO＋CO＝8，从而解决问题．4解析：解：（1）如图1，由题可得：AP＝OQ＝1×t＝t（秒）∴AO＝PQ．∵四边形OABC是正方形，∴AO＝AB＝BC＝OC，∠BAO＝∠AOC＝∠OCB＝∠ABC＝90°．∵DP⊥BP，∴∠BPD＝90°．∴∠BPA＝90°－∠DPQ＝∠PDQ．∵AO＝PQ，AO＝AB，∴AB＝PQ．在△BAP和△PQD中，∠BAP＝∠PQD∠BPA＝∠PDQAB＝PQ∴△BAP≌△PQD．∴AP＝DQ，BP＝PD．∵∠BPD＝90°，BP＝PD，∴∠PBD＝∠PDB＝45°．∵AP＝t，∴DQ＝t．∴点D坐标为（t，t）．故答案为：45°，（t，t）．（2）①若PB＝PE，则∠PBE＝∠PEB＝45°．∴∠BPE＝90°．∵∠BPD＝90°，∴∠BPE＝∠BPD．∴点E与点D重合．∴点Q与点O重合．与条件“DQ∥y轴”矛盾，∴这种情况应舍去．②若EB＝EP，则∠PBE＝∠BPE＝45°．∴∠BEP＝90°．∴∠PEO＝90°－∠BEC＝∠EBC．在△POE和△ECB中，∠PEO＝∠EBC∠POE＝∠ECBEP＝EB∴△POE≌△ECB．∴OE＝BC，OP＝EC．∴OE＝OC．5∴点E与点C重合（EC＝0）．∴点P与点O重合（PO＝0）．∵点B（－4，4），∴AO＝CO＝4．此时t＝AP＝AO＝4．③若BP＝BE，在Rt△BAP和Rt△BCE中，BA＝BCBP＝BE∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．∴AP＝CE．∵AP＝t，∴CE＝t．∴PO＝EO＝4－t．∵∠POE＝90°，∴PE＝PO2＋EO2＝2(4－t)．延长OA到点F，使得AF＝CE，连接BF，如图2所示．在△FAB和△ECB中，∴△FAB≌△ECB．∴FB＝EB，∠FBA＝∠EBC．∵∠EBP＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠EBC＝45°．∴∠FBP＝∠FBA＋∠ABP＝∠EBC＋∠ABP＝45°．∴∠FBP＝∠EBP．在△FBP和△EBP中，∴△FBP≌△EBP．∴FP＝EP．∴EP＝FP＝FA＋AP＝CE+AP．∴EP＝t＋t＝2t．∴2(4－t)＝2t．解得：t＝42－4∴当t为4秒或（42－4）秒时，△PBE为等腰三角形．（3）∵EP＝CE＋AP，∴OP＋PE＋OE＝OP＋AP＋CE＋OE＝AO＋CO＝4＋4＝8．∴△POE周长是定值，该定值为8．知识点：四边形综合题；解一元一次方程；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；6勾股定理；正方形的性质．题目难度：较难题目分值：12分4.(2014山东临沂中考)对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2．（1）证明：∠ABE＝30°；（2）证明：四边形BFB′E为菱形．答案：见解析方法技巧：（1）根据点M是AB的中点判断出A′是EF的中点，然后判断出BA′垂直平分EF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BE＝BF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠A′BE＝∠A′BF，根据翻折的性质可得∠ABE＝∠A′BE，然后根据矩形的四个角都是直角计算即可得证；（2）根据翻折变换的性质可得BE＝B′E，BF＝B′F，然后求出BE＝B′E＝B′F＝BF，再根据四条边都相等的四边形是菱形证明．解析：证明：（1）∵对折AD与BC重合，折痕是MN，∴点M是AB的中点，∴A′是EF的中点，∵∠BA′E＝∠A＝90°，∴BA′垂直平分EF，∴BE＝BF，∴∠A′BE＝∠A′BF，由翻折的性质，∠ABE＝∠A′BE，∴∠ABE＝∠A′BE＝∠A′BF，∴∠ABE＝13×90°＝30°；（2）∵沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，∴BE＝B′E，BF＝B′F，∵BE＝BF，7∴BE＝B′E＝B′F＝BF，∴四边形BFB′E为菱形．知识点：翻折变换（折叠问题）；菱形的判定；矩形的性质.题目难度：普通题目分值：9分5.（2014四川遂宁中考）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形．答案：见解析方法技巧：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠DOE＝∠CFE，根据线段中点的定义可得CE＝DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD＝FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．解析：证明：（1）∵CF∥BD，∴∠DOE＝∠CFE，∵E是CD中点，∴CE＝DE，在△ODE和△FCE中，∠DOE＝∠CFECE＝DE∠DEO＝∠CEF∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE，8∴OD＝FC，∵CF∥BD，∴四边形ODFC是平行四边形，在矩形ABCD中，OC＝OD，∴四边形ODFC是菱形．知识点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．题目难度：普通题目分值：9分6.（2014甘肃白银中考）D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）答案：见解析方法技巧：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE＝BC，GF∥BC且GF＝BC，从而得到DE∥GF，DE＝GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．解析：（1）证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC，且DE＝BC，同理，GF∥BC，且GF＝BC，∴DE∥GF且DE＝GF，9∴四边形DEFG是平行四边形；（2）解：当OA＝BC时，平行四边形DEFG是菱形．知识点：三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定．题目难度：普通题目分值：10分7.（2014福建厦门中考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形．答案：见解析方法技巧：首先证明∠B＝∠D，可得四边形ABCD是平行四边形，然后再证明△ABM≌△ADN可得AB＝AD，再根据菱形的判定定理可得结论．解析：证明：∵AD∥BC，∴∠B＋∠BAD＝180°，∠D＋∠C＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴∠AMB＝∠AND＝90°，在△ABM和△ADN中，∠B＝∠D∠AMB＝∠AND＝90°AM＝AN∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形知识点：菱形的判定．题目难度：普通题目分值：6分108.（2014四川雅安中考）如图：在□ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若