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第四章因式分解要点梳理考点讲练课堂小结课后作业小结与复习把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。分解因式方法提公因式法运用公式法整式乘法互为逆运算如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式a²±2ab+b²=(a±b)²一、因式分解要点梳理1.把一个多项式化成几个整式的____的形式，叫做多项式的_________，也叫将多项式__________.2.因式分解和互为____．3.前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者是把几个整式的______化为一个_________.因式分解乘积分解因式整式乘法逆运算多项式乘积乘积（一）定义多项式(整式)(整式)...(整式)因式分解（化和为积）整式乘法（化积为和）二、提公因式法1.一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的________，简称多项式的________.2.公因式的确定：(1)系数：多项式各项整数系数的___；(2)字母：多项式各项的字母；(3)各字母指数：取次数最__的．公因式公因式最大公约数相同最低3.定义：逆用乘法对加法的______律，可以把_______写在括号外边，作为积的一个_____，这种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.分配公因式因式三、公式法——平方差公式1.因式分解中的平方差公式a2－b2＝；2.多项式的特征：(1)可化为个____整式；(2)两项负号______；(3)每一项都是整式的______.3.注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式;(2)进行到每一个多项式都不能再分解为止.(a＋b)(a－b)两相反平方四、公式法——完全平方公式1.完全平方公式：a2+2ab+b2=()2a2-2ab+b2=()22.多项式的特征：(1)三项式；(2)有两项符号_____,能写成两个整式的_________的形式；(3)另一项是这两整式的______的_____倍.3.注意事项：有公因式时，应先提出_______.a+ba-b相同平方和乘积2公因式五、十字相乘法（适用于两次三项式）分解步骤：①竖分二次项与常数项②交叉相乘，和相加③检验确定，横写因式顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。))(()(2bxaxabxbax七、因式分解“四个”注意1、首项有负常提负2、各项有“公”先提“公”4、括号里面分到底3、某项提出没漏“1”一提：先看多项式的各项有无公因式，若有，必须先提出来公因式；二套：若有多项式各项没有公因式（或已提取公因式），则可以尝试运用公式来分解公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.六、分解因式步骤：考点一因式分解与整式乘法的关系例1判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由：(1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a;(2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10;(3)x2-6x+9=(x-3)2;(4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2.【解析】（1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；（2）判断过程要从左到右保持恒等变形.考点讲练不是不是是不是[方法总结]多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。公因式中的系数是各项中系数的最大公约数，共同含有的字母的指数是最低次幂。分解因式：a2bx2－2a2bxy＋a2by2.例1[解析]经观察可提出多项式中各项的公因式a2b，再利用完全平方公式.解：原式＝a2b(x2－2xy＋y2)＝a2b(x－y)2考点二分解因式例2[解析]先提取公因式3x，再运用完全平方公式因式分解．分解因式：3x3－12x2y＋12xy2.解：原式＝3x(x2－4xy＋4y2)＝3x(x－2y)2分解因式：a2(a－b)2－b2(b－a)2例3[解析]先将多项式中的相反数变相同，再提取公因式，最后用平方差公式因式分解．解：原式＝a2(a－b)2－b2(a－b)2＝(a－b)2(a2－b2)＝(a－b)2(a+b)(a－b)＝(a－b)3(a+b)分解因式：2(m2＋n2)(m＋n)2－(m2－n2)2.例5[解析]本题先运用平方差公式，然后提取公因式，最后运用完全平方公式因式分解．解：原式＝2(m2＋n2)(m＋n)2－(m＋n)2(m－n)2＝(m＋n)2[2(m2＋n2)－(m－n)2]＝(m＋n)2(m2＋2mn＋n2)＝(m＋n)4分解因式：a4－8a2b2+16b4例4解：原式＝(a2)2－8a2b2+(4b2)2＝(a2－4b2)2＝(a+2b)2(a－2b)2例1如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？考点三利用提公因式法求值解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050．答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.例2已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．解：因为a＋b＝7，ab＝4，所以原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.方法归纳原式提取公因式变形后，将a＋b与ab作为一个整体代入计算即可得出答案．第四章|复习针对训练1、分解因式b2(x－3)＋b(3－x)的正确结果是()A．(x－3)(b2＋b)B．b(x－3)(b＋1)C．(x－3)(b2－b)D．b(x－3)(b－1)D若多项式x2＋mx＋4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是()A．4B．－4C．±2D．±4D2、小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□－4y2(“□”表示漏抄的指数)，则这个指数可能的结果共有()A．2种B．3种C．4种D．5种3、D若M＝a2－a，N＝a－2，则M，N的大小关系是()A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．不能确定A4、5.如图4－2①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(ab)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图4－2②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是()A．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)图4－2D6.已知a＋b＝5，ab＝10，求a3b＋a2b2＋ab3的值．解：a3b＋a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当a＋b＝5，ab＝10时，原式＝×10×52＝125.121212121212127.因式分解：(1)(a＋b)2(a－b)－a+b；(2)ax2-ax-bx+b；(3)x5-x；(4)25(x-2y)2-4(2y-x)2(5)－3a2x4＋24a2x2－48a2(6)9x2-y2-4y-4(7)x2y2+16xy+48(8)(2+a)2+5(2+a)-36口诀找准公因式,一次要提净；全家都搬走,留1把家守；提负要变号,变形看奇偶.因式分解定义提公因式法公式法平方差公式完全平方公式课堂小结