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《数理经济学的基本方法》第9章课后习题9.5.2（P304）求下列函数的麦克劳林级数的前5项（取𝒏=𝟒，并令𝒙𝟎=𝟎）。(𝐛)𝝓(𝒙)=𝟏−𝒙𝟏+𝒙解：函数的各阶导数值为：𝜙(𝑥)=1−𝑥1+𝑥=21+𝑥−1;𝜙(0)=1𝜙′(𝑥)=0−1×2(1+𝑥)2=−2(1+𝑥)2;𝜙′(0)=−2𝜙(𝑥)=0−2×(1+𝑥)×(−2)(1+𝑥)4=4(1+𝑥)3;𝜙(0)=4𝜙(3)(𝑥)=0−3×(1+𝑥)2×4(1+𝑥)6=−12(1+𝑥)4;𝜙(3)(0)=−12𝜙(4)(𝑥)=0−4×(1+𝑥)3×(−12)(1+𝑥)8=48(1+𝑥)5;𝜙(4)(0)=48𝜙(𝑥)=1+(−2)∙𝑥+42!∙𝑥2+(−12)3!∙𝑥3+484!∙𝑥4+⋯=1−2𝑥+2𝑥2−2𝑥3+2𝑥4+⋯9.5.3（P304）求上题函数的泰勒级数（取取𝒏=𝟒，并令𝒙𝟎=𝟐）。解：𝜙(−2)=−3;𝜙′(−2)=−2;𝜙(−2)=−4;𝜙(3)(−2)=−12;𝜙(4)(−2)=−48.𝜙(𝑥)=−3+(−2)∙(𝑥+2)+(−4)2!∙(𝑥+2)2+(−12)3!∙(𝑥+2)3+(−48)4!∙(𝑥+2)4+⋯=−3−2(𝑥+2)−2(𝑥+2)2−2(𝑥+2)3−2(𝑥+2)4−⋯9.6.2（P310）求下列函数的稳定值，运用N阶导数检验确定稳定值的确切性质。(𝐜)𝒚=(𝟑−𝒙)𝟔+𝟕解：一阶条件为：𝑦′=6×(−1)×(3−𝑥)5=0解得𝑥=3，稳定值y(3)=7𝑦′(3)=𝑦(3)=𝑦(3)(3)=𝑦(4)(3)=𝑦(5)(3)=0,𝑦(6)(3)=7200故𝑦(3)=7为函数的相对极小值点。(𝐝)𝒚=(𝟓−𝟐𝒙)𝟒+𝟖解：一阶条件为：𝑦′=4×(−2)×(5−2𝑥)3=0解得𝑥=2.5，稳定值𝑦(2.5)=8𝑦′(2.5)=𝑦(2.5)=𝑦(3)(2.5)=0,𝑦(4)(2.5)=3840故𝑦(2.5)=8为函数的相对极小值点。《数理经济学的基本方法》第11章课后习题11.4.3（P384）求下列函数的极值（若存在的话）。运用行列式检验判定它们是极大值还是极小值。𝒛=𝒙𝟏𝒙𝟑+𝒙𝟏𝟐−𝒙𝟐+𝒙𝟐𝒙𝟑+𝒙𝟐𝟐+𝟑𝒙𝟑𝟐解：一阶条件为：{𝜕𝑧𝜕𝑥1=𝑥3+2𝑥1=0𝜕𝑧𝜕𝑥2=−1+𝑥3+2𝑥2=0𝜕𝑧𝜕𝑥3=𝑥1+𝑥2+6𝑥3=0解得：𝑥1=120,𝑥2=1120,𝑥3=−110对函数求二阶导数，得到海塞行列式为：|𝑯|=|201021116|其逐次主子式为：|𝑯1|=20,|𝑯2|=40,|𝑯3|=200即二阶全微分d2𝑧正定，故𝑧(120,1120,−110)=−27100为函数的极小值。11.4.6（P384）(a)求第三题海塞矩阵的特征根。解：对上题得到的海塞矩阵有：|2−𝑟0102−𝑟1116−𝑟|=(2−𝑟)(𝑟2−8𝑟+10)=0解得其特征根为：𝑟1=2,𝑟2=4+√6,𝑟3=4−√6(b)你对求得的结果能得出什么结论？解：由于海塞矩阵的特征根全为正数，因此二阶全微分d2𝑧正定。(c)你对于(b)问题的答案是否与前面用行列式检验法对第3题的检验结论相一致。解：用海塞矩阵特征根检验的结论和用行列式检验得到的结论是一致的。11.5.1（P400）运用（11.20）检验下列函数是凹函数、凸函数，还是严格凹函、严格凸函数，或者都不是。(𝐜)𝒛=𝟐𝒙𝟐−𝒙𝒚+𝒚𝟐解：此题可采用海塞行列式或定义法判断。方法1：由题目可知𝑓𝑥=4𝑥−𝑦，𝑓𝑦=−𝑥+2𝑦，𝑓𝑥𝑥=4，𝑓𝑦𝑦=2，𝑓𝑥𝑦=𝑓𝑦𝑥=−1。据此可写出海塞矩阵：𝑯=[4−1−12]，其各阶主子式为：|𝑯1|=40,|𝑯2|=70因此𝑑2𝑧为正定，故函数𝑧=2𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2为严格凸函数。方法2：令𝑢=(𝑢1,𝑢2)和𝑣=(𝑣1,𝑣2)为函数上的任意两点。𝑓(𝑢)=2𝑢12−𝑢1𝑢2+𝑢22𝑓(𝑣)=2𝑣12−𝑣1𝑣2+𝑣22𝑓[𝜃𝑢+(1−𝜃)𝑣]=2[𝜃𝑢1+(1−𝜃)𝑣1]2−[𝜃𝑢1+(1−𝜃)𝑣1][𝜃𝑢2+(1−𝜃)𝑣2]+[𝜃𝑢2+(1−𝜃)𝑣2]2𝜃𝑓(𝑢)+(1−𝜃)𝑓(𝑣)=𝜃(2𝑢12−𝑢1𝑢2+𝑢22)+(1−𝜃)(2𝑣12−𝑣1𝑣2+𝑣22)上述两式相减：𝜃𝑓(𝑢)+(1−𝜃)𝑓(𝑣)−𝑓[𝜃𝑢+(1−𝜃)𝑣]=𝜃(1−𝜃)[2𝑢12−4𝑢1𝑣1+2𝑣12+𝑢22−2𝑢2𝑣2+𝑣22+𝑢1𝑣2+𝑢2𝑣1−𝑢1𝑢2−𝑣1𝑣2]=𝜃(1−𝜃)[2(𝑢1−𝑣1)2−(𝑢1−𝑣1)(𝑢2−𝑣2)+(𝑢2−𝑣2)2]=𝜃(1−𝜃){[12(𝑢1−𝑣1)−(𝑢2−𝑣2)]2+74(𝑢1−𝑣1)2}0（因为0𝜃1）故函数𝑧=2𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2为严格凸函数。11.5.1（P400）运用（11.24）或（11.24’）检验下列函数是凹函数、凸函数，还是严格凹函、严格凸函数，或者都不是。(𝐜)𝒛=𝒙𝒚解：此题可采用海塞行列式或一阶导数判断。方法1：由题目可知𝑓𝑥=−𝑦，𝑓𝑦=−𝑥，𝑓𝑥𝑥=0，𝑓𝑦𝑦=0，𝑓𝑥𝑦=𝑓𝑦𝑥=−1。据此可写出海塞矩阵：𝑯=[0−1−10]，其各阶主子式为：|𝑯1|=0,|𝑯2|=−10因此𝑑2𝑧既非正定也非负定，故函数𝑧=𝑥𝑦的凹凸性无法判断。方法2：令𝑢=(𝑢1,𝑢2)和𝑣=(𝑣1,𝑣2)为函数上的任意两点。𝑓1(𝑢1,𝑢2)=−𝑢2𝑓2(𝑢1,𝑢2)=−𝑢1𝑓(𝑣)−𝑓(𝑢)−∑𝑓𝑗2𝑗=1(𝑣𝑗,𝑢𝑗)=−𝑣1𝑣2+𝑢1𝑢2+𝑢2(𝑣1−𝑢1)+𝑢1(𝑣2−𝑢2)=−𝑣1𝑣2−𝑢1𝑢2+𝑣1𝑢2+𝑣2𝑢1=(𝑣1−𝑢1)(𝑣2−𝑢2)由于𝑢=(𝑢1,𝑢2)和𝑣=(𝑣1,𝑣2)为函数上的任意两点，故无法判断上式的符号，因此无法判断函数的凹凸性。《数理经济学的基本方法》第12章课后习题12.4.5（P454）（a）验证三次函数𝒛=𝒂𝒙𝟑+𝒃𝒙𝟐+𝒄𝒙+𝒅一般情况下既非拟凹函数，也非拟凸函数。（b）对于𝒙≥𝟎，有可能对参数施加某些限制，使得函数变成既是拟凹又是拟凸吗？解：（a）要使函数𝑧=𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑在𝑥≥0上既非拟凹又非拟凸，则必须满足以下条件：①当𝑎0，要求Δ0，见下图左起第一个图；②当𝑎0，要求Δ0，见下图左起第三个图。以左起第一个图为例（见下图），𝑢点是较低的点，𝑣点是较高的点，如果𝑢点与𝑣点之间弧段上的点高度小于𝑢点，则此函数非拟凹；如果𝑢点与𝑣点之间弧段上的点高度大于𝑣点，则此函数非拟凸。显然，左起第一个图同时满足非拟凹和非拟凸的条件。左起第三个图的判断方式相同。uv（b）要使函数𝑧=𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑在𝑥≥0上既是拟凹又是拟凸必须保证函数，需要满足以下条件：①在𝑎0和Δ0情况下（下图左起第一个图），要求左起第二个拐点（即𝑥2点）在纵轴的左边即可，具体解的过程如下：拐点要求𝑑𝑧𝑑𝑥=3𝑎𝑥2+2𝑏𝑥+𝑐=0，解得𝑥1=−2𝑏−√4𝑏2−12𝑎𝑐6𝑎，𝑥2=−2𝑏+√4𝑏2−12𝑎𝑐6𝑎，即要求解得𝑥2=−2𝑏+√4𝑏2−12𝑎𝑐6𝑎0，在𝑎0的情况下，则解得2𝑏−√4𝑏2−12𝑎𝑐0。对于下图左起第一个图，在满足𝑎0和Δ0和2𝑏−√4𝑏2−12𝑎𝑐0情况下，该函数在𝑥≥0的区间即是拟凹又是拟凸。②在𝑎0和Δ0情况下（下图左起第一个图），与①完全相同的求解过程得到，在满足𝑎0和Δ0和2𝑏−√4𝑏2−12𝑎𝑐0情况下，该函数在𝑥≥0的区间即是拟凹又是拟凸。综合①和②可知，只要满足{𝑎0,Δ0,2𝑏−√4𝑏2−12𝑎𝑐0𝑎0,Δ0,2𝑏−√4𝑏2−12𝑎𝑐0Δ≤0中的任意一条，此函数在𝑥≥0上既是拟凹又是拟凸。12.4.8（P454）运用加边行列式检验下列函数的拟凹性和拟凸性。（b）𝒛=−(𝒙+𝟏)𝟐−(𝒚+𝟐)𝟐(𝒙,𝒚0)解：此函数的偏导数为：𝑓𝑥=−2(𝑥+1)，𝑓𝑦=−2(𝑦+2)，𝑓𝑥𝑥=−2，𝑓𝑥𝑦=0，𝑓𝑦𝑦=−2|B|的主子式有如下符号：|B1|=|0𝑓𝑥𝑓𝑥𝑓𝑥𝑥|=−4(𝑥+1)20|B2|=|0𝑓𝑥𝑓𝑦𝑓𝑥𝑓𝑥𝑥𝑓𝑥𝑦𝑓𝑦𝑓𝑦𝑥𝑓𝑦𝑦|=8(𝑥+1)2+8(𝑦+2)20因此，满足严格拟凹函数的充分条件。《数理经济学的基本方法》第13章课后习题13.2.3（P508）𝑴𝒊𝒏𝑪=𝒙𝟏𝐬.𝐭.𝒙𝟏𝟐−𝒙𝟐≥𝟎且𝒙𝟏，𝒙𝟐≥𝟎用图解法解此规划。最优解在歧点出现吗？检验最优解是否满足：（a）约束规范；（b）库恩-塔克极小化条件。解：如图所示，可行区域是位于曲线第一象限𝑥2=𝑥12以下，x轴以上的区域。最优解（0,0）出现在歧点。x2x1x2=x12由于𝑥1∗=𝑥2∗=0，测试向量必须满足𝑑𝑥1≥0和𝑑𝑥2≥0。另外，g11𝑑𝑥1+g21𝑑𝑥2=2𝑥1∗𝑑𝑥1−𝑑𝑥2≥0，即𝑑𝑥2≤0。因此，满足以上两个条件的𝑑𝑥2=0，即测试向量为水平指向正东方向的箭头。显然，可以绘出一个平滑弧与此测试向量相切并完全位于可行区域内，所以合格的规范弧。因此，最优解点（0,0）符合约束规范。此问题的拉格朗日函数为：𝑍=𝑥1+𝜆(𝑥2−𝑥12)库恩-塔克条件为：𝑑𝑍𝑑𝑥1=1−2𝜆𝑥1≥0𝑑𝑍𝑑𝑥2=𝜆≥0𝑑𝑍𝑑𝜆=𝑥2−𝑥12≤0加上非负约束和互补松弛条件。在（0,0）点，第一和第三个条件可以完全满足，第二个条件只要当𝜆≥0成立时也可以满足。即尽管（0,0）为歧点，但可以满足库恩-塔克条件。