高考数学一轮单元复习：第33讲-平面向量的数量积及应用

│平面向量的数量积及应用1．数量积的概念(1)向量的夹角：如图33－1所示，已知两个非零向量a和b，作则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作．│知识梳理知识梳理〈a，b〉│知识梳理(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量叫做a与b的数量积，记作a·b，即.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．2．数量积的性质设e是单位向量，(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2，或|a|＝.|a||b|cosθa·b＝|a||b|cosθ2a│知识梳理≤b·aλ(a·b)x1x2＋y1y2(3)a⊥ba·b＝0.(4)cosθ＝.(5)a·b|a||b|.3．运算律(1)a·b＝；(2)(λa)·b＝＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．向量数量积的坐标运算设＝a＝(x1，y1)，＝b＝(x2，y2)，则(1)a·b＝；(2)|a|＝；baba2121yx(3)(4)cos〈a，b〉＝；(5)a⊥bx1x2＋y1y2＝0；(6)a∥bx1y2－x2y1＝0.222221212121yxyxyyxx│知识梳理；221221yyxxa·b＝0探究点1平面向量的数量积概念│要点探究要点探究例1判断下列各命题正确与否：(1)0·a＝0；(2)0·a＝0；(3)若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；(4)若a·b＝a·c，则b≠c，当且仅当a＝0时成立；(5)(a·b)·c＝a·(b·c)对任意a，b，c向量都成立；(6)对任意向量a，有a2＝.│要点探究【思路】利用数量积的概念．【解答】(1)错，应为零向量；(2)对；(3)错，数量积运算不满足“消去律”；(4)错，当a与b－c垂直时也成立；(5)错，数量积不满足结合律；(6)对．【点评】这是一组概念性问题，通过该题，要清楚向量的数乘与数量积之间的区别与联系，实数的乘法与数量积的区别与联系，并能够结合图形理解其几何意义．│要点探究变式题[2009·福建卷]设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，∣a∣＝∣c∣，则∣b·c∣的值一定等于()A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为两边的三角形面积C．以a，b为两边的三角形面积D．以b，c为邻边的平行四边形的面积【思路】利用数量积的定义．【解析】A假设a与b的夹角为θ，∣b·c∣＝︱b︱·︱c︱·∣cos〈b，c〉∣＝︱b︱·︱a︱·∣cos(90°±θ)∣＝︱b︱·︱a︱·sinθ，即为以a，b为邻边的平行四边形的面积，故选A.探究点2求平面向量的数量积及模的基本运算│要点探究例2(1)[2009·江苏卷]已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.(2)[2009·辽宁卷]平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.B．C．4D．123332【思路】(2)要利用数量积的定义和公式|a|＝.2a【答案】(1)3(2)B│要点探究【解析】(1)a·b＝＝3.(2)由已知|a|＝2，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12.∴|a＋2b|＝.233232【点评】本题主要考查数量积的定义和模的基本运算．要求数量积就必须知道向量的模和夹角，这是解题的入手点，如下题：│要点探究变式题(1)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足则等于()A.B.C．D．(2)[2009·广东卷]一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．6B．2C．2D．294343494【思路】(1)中(2)中由平衡可知F3＋F1＋F2＝0.│要点探究【解析】(1)A由已知知，P为△ABC的重心，根据向量的加法，则(2)D－2F1F2cos(180°－60°)＝28，所以|F3|＝，选D..94131322222123FFF72探究点3用平面向量的数量积求夹角│要点探究例3[2009·重庆卷]已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与向量b的夹角是()A.B.C.D.6432【思路】利用数量积的定义式．│要点探究【解析】C因为由条件得a·b－a2＝2，所以a·b＝2＋a2＝3，设a，b夹角为α，则a·b＝|a|·|b|cosα＝1×6×cosα，所以cosα＝，所以α＝.213【点评】从方程的角度理解平面向量的数量积可以求模、夹角，关键是对定义式的灵活变形．│要点探究【思路】要求两向量夹角θ的取值范围，可先求cosθ的取值范围．变式题已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A.B.C.D.6,0,332,3,6│要点探究【解析】B由关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，得|a|2－4a·b≥0，而a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ≤，∴θ∈.,321214122aa探究点4平面向量的数量积与垂直问题│要点探究例4已知平面向量a＝(，－1)，b＝.(1)证明：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)·b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t)；(3)据(2)的结论，确定函数k＝f(t)的单调区间．323,21│要点探究【解答】(1)证明：∵a·b＝∴a⊥b.(2)∵x⊥y，∴x·y＝0，∴[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋[t－k(t2－3)]a·b＋t(t2－3)b2＝0.∵|a|＝2，|b|＝1，a⊥b.∴－k×4＋t(t2－3)＝0，即k＝(t3－3t)(t≠0)．,023)1(213│要点探究(3)由(2)和f(t)＝(t3－3t)得f′(t)＝(3t2－3)，令f′(t)0得t1或t－1，令f′(t)0得－1t1且t≠0.∴函数k＝f(t)的单调递增区间为(1，＋∞)和(－∞，－1)．单调递减区间为(－1,0)和(0,1)．4141【点评】该例为向量与函数及导数的综合问题，求解时要灵活变换，及时调整思维角度，并注意解题的严谨性(如t≠0容易忽略)．│要点探究【思路】由所给条件逐一判定点P的位置．变式题1[2009·海南宁夏卷]已知O，N，P在△ABC所在平面内，且且则点O，N，P依次是△ABC的()A．重心，外心，垂心B．重心，外心，内心C．外心，重心，垂心D．外心，重心，内心│要点探究【解析】C由知，O为△ABC的外心；由知，N为△ABC的重心；∴BP⊥AC，同理，AP⊥BC，∴P为△ABC的垂心，选C.【点评】根据a⊥ba·b＝0这一结论既可以判定垂直，也可以已知垂直得等式．应用中注意化简所给的向量式．如下题：│要点探究【思路】利用平行，垂直的条件列方程求解．变式题2[2009·浙江卷]已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A.B.C.D.37,9797,3797,3737,97【解析】D不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)；又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，则有m＝，n＝.9737│规律总结规律总结1．利用平面向量的数量积可以求两点间的距离(即向量的模)，可以求夹角，还可以判定垂直．2．求一个向量的模可以用模的定义，求和(差)向量的模一般先平方，应用数量积计算后再开方．3．求夹角时注意向量的方向，尤其在三角形中，如计算时向量的夹角为∠BAC，计算·时向量的夹角为π－∠BAC.4．a⊥b与a·b＝0是等价的，应用非常广泛．