(2-3)2.4--正态分布

2.4正态分布正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。你见过高尔顿板吗？如图所示的就是一块高尔顿板示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，只有球的数目相当大，它们在底板将组成近似中间高两头低，成左右对称的图形.高尔顿板视频xx球槽编号12345678910111213141234567891011121314OyOy频率组距频率组距上面的钉板试验给我们如下图的曲线这就是本节课我们学习的正态曲线，通过学习我们会掌握正态曲线的有关知识，用它来解决实际生产生活中的问题.问题一：通过高尔顿板试验，你有什么发现？能解释一下产生这种现象的理由吗？落在中间球槽内的小球多，落在两边球槽内的小球少；小球落在中间球槽内的概率比落在两边球槽内的概率大.问题二：以球槽的编号为横坐标，小球落入各个球槽内的频率值为纵坐标，则在各个球槽内小球的分布情况用频率分布直方图如何表示？球槽的编号频率组距o随着重复次数的增加，这个频率直方图的形状越来越像一条钟形曲线函数其中m和σ(σ＞0)为参数，是随机变量X的均值与标准差.已知正态分布密度函数为x∈(-∞,+∞),则该正态分布的均值为________,标准差为________.【解析】对照正态分布密度函数φμ,σ(x)=x∈(-∞,+∞)可得μ=0,σ=.答案:02x41fxe,222(x)21e,2m22问题三：如果去掉高尔顿板试验中最下边的球槽，并沿其底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，用X表示落下的小球第一次与高尔顿板底部接触时的坐标，则X是一个什么类型的随机变量？X是连续型随机变量.问题四：从正态曲线分析，随机变量X在区间(a，b]内取值的概率有什么几何意义？在理论上如何计算？xyOab几何意义：由正态曲线，过点（a,0）和点（b,0）的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是x落在区间（a,b]的概率的近似值.一般地，如果对于任何实数a,b(a＜b)，随机变量X满足，则称X的分布为正态分布，记作X～N(m，σ2).其中m，σ为参数.问题一：观察正态曲线，正态曲线的特点有哪些？（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x=m对称.（4）曲线与x轴之间的面积为1（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)1σ2π曲线的位置、对称性、最高点、与x轴围成的面积xyOx=mm3m1m2σ=0.5μ=-1μ=0μ=1若σ固定,随m值的变化而沿x轴平移,m故称为位置参数；问题二：根据函数(x)的解析式分析，若σ为定值，当m变化时正态曲线如何变化？,mm=0.5=1=2μ=0若m固定,σ大时,曲线矮而胖；σ小时曲线瘦而高,故σ称为形状参数。标准正态分布N(0,1)yx问题三：若m为定值，当σ变化时正态曲线的极值大小如何变化？正态曲线的形状如何变化？设两个正态分布N(μ1，)(σ1＞0)和N(μ2，)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2A2122P(－σ＜X≤＋σ)≈0.6827，P(－2σ＜X≤＋2σ)≈0.9545，P(－3σ＜X≤＋3σ)≈0.9973，如何理解这几个数据的实际意义？正态分布在各σ邻域内取值的概率.问题四：正态分布的3σ原则mmmmmm|4σ||2σ||6σ|68.27%95.45%99.73%mmm由P(m－3σ＜X≤m＋3σ)＝0.9973可知，正态总体有99.73%的取值落在区间(m－3σ,m＋3σ]内，即在此区间外取值的概率只有0.0027.通常认为在一次试验中，随机变量取这个区间外的值几乎不可能发生，或者认为如果随机变量X～N(m，σ2)，则X只取区间(m－3σ,m＋3σ]内的值，这个理论称为3σ原则.正态分布的3σ原则某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ服从正态分布，质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？25.0,4N解：25.04，服从正态分布由于N由正态分布的性质知，在，正态分布25.045.03×4,5.03×4+N概率只有0.003,之外取值的5.5,5.27.5而这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件.据此可认为该批零件是不合格的。例1.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布X～N(90,100).(1)求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少?(2)若此次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人?解:依题意,X～N(90,100),90,10.m(70110)PX(22)0.954PXmm+(80100)PX()0.683.PXmm+即考试成绩在(80,100)间的概率为0.683.考试成绩在(80,100)间的考生大约有20000.6831366.例2.若X～N(5,1),求P(6X7）课本75页B2解:因为X～N(5,1),5,1.m又因为正态密度曲线关于直线x=5对称,1(57)(37)2PxPx10.95440.47722；1(56)(46)2PxPx10.68260.34132；(67)(57)(56)PxPxPx0.1359.1(521521)2Px+1．【2009安徽卷理】若随机变量2~(,)XNm，则()PXm=________.2．【2007年浙江理】已知随机变量服从正态分布22,N，40.84P，则0P（）A．0.16B．0.32C．0.68D．0.843．【2010山东理5】已知随机变量服从正态分布20,N，若20.023P，则22P（）A．0.477B．0.625C．0.954D．0.97712AC【3】（07全国）在某项测量中，测量结果服从正态分布2(1)(0)N，．若在(01)，内取值的概率为0.4，则在(02)，内取值的概率为0.8．xoyxoy8.04、【1】（07湖南）设随机变量服从标准正态分布(01)N，，已知p（＜－1.96）=0.025，则(||1.96)P=（C）A．0.025B．0.050C．0.950D．0.975xyoxyo【2】（07浙江）已知随机变量服从正态分布2(2)N，，(4)0.84P≤，则(0)P≤（A）A．0.16B．0.32C．0.68D，0.84xyo2．(2015·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σξμ+σ)=68.27%,P(μ-2σξμ+2σ)=95.45%)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%B【解析】由正态分布的对称性可得，1(03)68.27%34.135%2P，1(06)95.45%47.725%2PP(36)=47.72%-34.13%=13.59%.为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(m，）.（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（m3σ，m+3σ）之外的零件数，求p(X≥1)及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（m3σ，m+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：（II）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：2正态曲线的性质正态分布正态分布与正态曲线的概念正态分布的简单计算①非负性②定值性③对称性④单调性