数列的概念

数列的概念【知识点精讲】1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）2、通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示an=f(n)。（通项公式不唯一）3、数列的表示:(1)列举法:如1,3,5,7,9……;(2)图解法:由(n,an)点构成;(3)解析法:用通项公式表示,如an=2n+1(4)递推法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a1=1,an=1+2an-14、数列分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列5、任意数列{an}的前n项和的性质Sn=a1+a2+a3+……+an2111nSSnSannn6、求数列中最大最小项的方法：最大11nnnnaaaa最小11nnnnaaaa考虑数列的单调性【例题选讲】例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项（1）-1,7,-13,19,…;(2)7,77,777,777,…;(3),...;9910,638,356,154,32(4)5,0,-5,0,5,0,-5,0,…;(5)1,0,1,0,1,0,…;解：（1）an=(-1)n(6n-5);(2)11097nna(3))12)(12(2nnnan(4)2sin5nan;(5)Nnann2)1(11;Nnnan2sin2[点评]根据数列前几项的规律，会写出数列的一个通项公式。练习:⑴,....54,21,114,72⑵3,5,9,17,33,……⑶1,2,2,4,3,8,4,16,5,……..解：22221121211221312231741nnnnnnnnnnannnaana或为正偶数为正奇数22222cos212sinnnnnna或例2、已知数列1929922nnn（1）求这个数列的第10项；（2）10198是不是该数列中的项，为什么？（3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；（4）在区间32,31内有无数列中的项？若有，有几项？若无，说明理由。解：设132319299)(22nnnnnnf（1）令n=10,得第10项；322810a（2）令3009,101981323nnn得，此方程无自然数解，所以不是其中的项（3）证明：10,11330,1331133131323nnanNnnnnnna（4）令386726696913,32132331nnnnnnnnan3867n在区间内当且仅当,2n[点评]数列问题转化为解方程和不等式问题，注意正整数解例3、下面各数列的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式.(1)Sn=2n2-3n(2)Sn=3n-2解:(1),111Sa当n≥2时,541nSSannn由于a1也适合此等式,所以54nan(2),111Sa当n≥2时,1132nnnnSSa232111nnann[点评]已知数列前n项和Sn,相当于知道了n≥2时候an,但不可忽视n=1.即2111nssnsannn练习:已知数列的前n项和Sn满足log2(Sn+1)=n+1,求{an}的通项公式解:由题意2213121nnasnnnn例4、有一数列{an}，a1=a，由递推公式an+1=aann12，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写该数列的一个通项公式。详见优化设计P37典例剖析之例2，解答过程略。（理科班学生可要求通项公式的推导：倒数法）变式：在数列{an}，a1=1，an+1=naann1，求an。详见优化设计P37典例剖析之例1，解答过程略。[点评]对递推公式，要求写出前几项，并猜想其通项公式，此外了解常用的处理办法，如：迭加、迭代、迭乘及变形后结合等差（比）数列公式，也很必要。例5、已知数列{an}的通项公式,11101Nnnann试问数列{an}有没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数;若无,说明理由.解:1191110111011110211nnnaannnnn当n9,nnnnaaaa11,0当n9,nnnnaaaa11,0当n=9,nnnnaaaa11,0故........11109321aaaaaa所以,数列{an}有最大项,为第9,10项[点评]求数列{an}的最大项,最小项,考虑数列的单调性,即通过对an的单调性进行讨论练习:已知,9998Nnnnan则在数列{an}中的前30项中,最大项和最小项分别为什么?解:9998991nan最大a10最小a9【课堂小结】1、了解数列的概念、分类与表示法；2、重点理解数列的通项公式，会求一些简单数列的通项公式，会根据通项公式和递推公式求数列的项；3、任意数列{an}的前n项和的性质Sn=a1+a2+a3+……+an2111nSSnSannn4、求数列中最大最小项的方法：最大11nnnnaaaa最小11nnnnaaaa考虑数列的单调性【作业布置】优化设计