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图示为一个轧纸钳，其尺寸如图所示。工作时上、下钳口保持平行，设手握力为P，求作用于纸片上的力Q的大小。解：1）取整个轧纸钳为研究对象。2）系统约束为理想约束。3）设主动力P和Q作用点分别为B点和A点。4）取A点和B点的无穷小真实位移为虚位移Ayδ和Byδ。5）建立虚位移的关系。由几何关系得//AByaybδδ=6）主动力的虚功为0BAAPyQyδδδ=−=于是BAyPbQPyaδδ==图示机构的在C处铰接，在D点上作用水平力P，已知AC=BC=EC=FC=DE=DF=l，求保持机构平衡的力Q的值。解：建立如图所示的坐标系，由几何关系得：θcos2lyA=，θsin3lxD=由虚位移原理得：0=+DAxPyQδδ所以：θPctgQ23=用滑轮机构将两物体A和B悬挂如图，并设物体B保持水平。如绳和滑轮的重量不计，求两物体平衡时，重量PA和PB的关系。B解：取物块A、B为研究对象。约束为理想约束。由虚位移原理可得：0=+AABrPrPδδB由如图所示的滑轮的几何关系，可得虚位移关系为：/1BArr/5δδ=故ABPP5=反平行四边形机构中的杆和用铰链ABCDCDAB、BCB和C互相连接，同时又用铰链A和连在机架DAD上。在杆的铰链C处作用一个水平力。在铰链CDCFB沿垂直于杆AB的方向作用有力，机构在图示位置处于平衡。设BFADBC=，ABCD=，，°=∠=∠90ADCABC°=∠30DCB。求的大小。BF解：根据题意，选三根杆组成的整体为研究对象，约束均为理想约束，主动力为。由虚位移原理，有BCFF及0CCBBCCBBFrFrδδδδ⋅+⋅=+=FrFr又由运动学知识，有ocos60CBvv=由此得到相应的虚位移关系：ocos60CBrrδδ=于是CBFF2=套D套在光滑直杆AB上，并带动CD杆在铅垂滑道上滑动，如图所示。已知当时，弹簧等于原长，且弹簧系数为5kN/m。若系统的自重不计，求在任意位置0θ=oθ角平衡时，在AB杆上应加多大力偶矩M。δθxDrδFFyBrδ解：如图所示，以A为原点建立坐标系。则D点坐标：0.30.3tanDDxyθ==，对上式进行变分可得：210.3cosDDryδδδθ==θ(1)此时弹簧的弹力为：1(0.3)0.3(cosFkADkθ=−=1)−(2)以杆AB、滑套D和杆CD为研究对象，约束为理想约束。将弹簧去除，代之以作用在D和B上的弹力。弹力在Brδ上所做的虚功为零，在Drδ上做的虚功为cos(90)DDFrδδθ⋅=+oFr，利用虚位移原理有：cos(90)0DMFrδθδθ++=o(3)将(1)式代入得：2sin0.30cosMFθδθδθθ−=由δθ的任意性可得：2sin0.3cosMFθθ=将(2)式代入，并由可得：5000/kN=m()3sin1cos450cosMNmθθθ−=⋅4-07在图示机构中，AB与CD长均为a=300cm，在E处以铰链连接，BE＝DE＝a/3，AB与BF在B处以铰链连接，D处为一光滑套筒，C处为小滚轮，弹簧刚度系数为1.8kN/m,且当时，弹簧具有原长，求当在B处作用载荷P=1.2kN时,系统的平衡位置0θ＝θ。xyFFxyFF解：将弹簧解除，代之以弹簧力F，弹簧力的大小为：2sin3FkBDkaθ==i(1)利用虚功原理解本题。以A为原点建立坐标系，如图所示，则：cos21(sinsin)sin33(sin)BDFaaaalaθθθθθ==−−=−=−yjxixii(2)其中，l是BF的长度。对(2)式变分可得：sin1cos3cosBDFaaaiδδθθδδθθδδθθ=−=−=−yjxxiF(3)主动力为：BDFPF=−=−=FjFiFi，，，则根据虚功原理可得：1(sincoscos)03PaFaFaθθθδθ+−=由于δθ的任意性，可得：1sincoscos03PFFθθθ+−=即：2sincos03PFθθ−=将(1)带入可得：4sinsincos09Pkaθθθ−=所以：91cos42Pkaθ==60θ=在曲柄OA上作用力矩为M=6Nm⋅的力偶。OA=150mm，OO1=200mm,O1B=500mm,BC=780mm,略去摩擦及自重。当OA⊥OO1时（如图所示），为了使机构处于平衡，求作用在滑块C上的水平力P。解：θγαvAvBvCvAevArψφBECO1如图，OA杆速度为vv,其中AAeA=+rvθsin11ABAevBOAOvv==对BC杆，有sincosBCvvαγ=，其中1sinsin()16/65EBCEBOα=∠−∠=，cos36/39γ=由以上式子可得(4/15)(6/5)(4/15)CBAvvv==则A点的虚位移δrA与滑块C的虚位移δrC的关系同速度之间的关系，即(4/15)(6/5)(4/15)CBArrrδδδ==由虚位移原理0ACrMPrOAδδ+=，代入δrA与δrC的关系得P=125N两相同的均质杆，长度均为l，质量均匀为m，其上作用力偶如图。试求在平衡状态时，杆与水平线之间的夹角1θ，2θ。AB解：假设上面杆的质心为A点，下面杆的质心为B点。假设2θ不动，1θ有一个小的转角1δθ，那么12δθδδlrrAB==，那么两根杆的重力所做的功为11cos23δθθmgl而力偶所做的功为：1δθM根据虚位移原理，0)cos23(11=−δθθmglM∴0cos231=−θmglMmglM32arccos1=θ现假设1θ不动，2θ有一个小的转角2δθ，那么221δθδlrB=，0=Arδ，两根杆的重力所做的功为22cos21δθθmgl而力偶所做的功为：2δθM根据虚位移原理，0)cos21(22=−δθθmglM∴0cos212=−θmglMmglM2arccos2=θ三根均质细杆以铰链相连，其A端和B端另以铰链连接在固定水平直线AB上，如图所示。已知各杆的重量与其长度成正比，AC=a，CD=DB=2a，AB=3a。设铰链为理想约束，求杆系平衡时βα、、γ之间的关系。解：如图所示，各杆的重力分别为1Gag=，22Gag=，32Gag=，设其作用点的坐标分别为，，。123OyOyOy由几何关系易知：1sin2Oayα=，()2sinsinOyaαγ=+，3sinOyaβ=另外，利用几何关系还可以得到下面两个关系式：sin2sin2sin0cos2cos2cos3aaaaaaαγβαγβa+−=⎧⎨++=⎩变分得cos2cos2cos0sin2sin2sin0αδαγδγβδβαδαγδγβδβ+−=⎧⎨++=⎩解得()()()()2sinsinsinsinβγδαδαγαββδγδαγ−+⎧=⎪−⎪⎨+⎪=⎪−⎩β=主动力的虚功之和为0，即123,,GGG()3212.5cos2cos2cos0iiOiAGyagδδαδαγδγβδβ===++∑代入,δαδγ并由δβ的任意性得()()()5cossin2cossin2cossinαβγγαββαγ+=++−均质杆AB长2l，一端靠在光滑的铅垂墙壁上，另一端放在固定光滑曲面DE上，如图所示。欲使细杆能静止在铅垂平面的任意位置。问曲面的DE应是怎样的曲线？x解：建立如图所示坐标系。杆受到主动力P作用，由虚位移原理，平衡时应该满足0cδ⋅=Py，因为≠P0，故0cδ=y，即Cy=常数。又当杆垂直时Cyl=，则在任意瞬时Cy均为。当杆在任意位置时，A点坐标为l2sincosCxlyylϕϕ=⎧⎨=−⎩代入Cyl=且消去参数ϕ可得()142222=−+lyllx即曲线DE是以0,xyl==为中心、长短半轴各为和的椭圆的一部分。l2l图示平面平衡系统，在列其整体的平衡方程时，不需计入弹簧内力；而用虚位移原理求力F1和F2之间的关系时，必需计入弹簧的虚功，二者矛盾吗？简要说明理由。解：这二者并不矛盾。在列其整体的平衡方程时，弹簧力是属于内力，不计入平衡方程。虚位移原理求力F1和F2之间的关系时，弹簧力是主动力，必须计入。长度均为l的轻棒四根，由光滑铰链联成一个菱形ABCD；AB、AD两边支于同一水平线的两个钉E，F上，相距为2a，BD间用细绳连接，C点作用一个铅直力P，如图所示。设A点的顶角为2α，试用虚功原理求绳中张力T。xyxy解：切断BD之间的细绳，假设有大小为T的主动力分别作用于B、D两点，方向沿着水平方向，指向菱形内部。以四根杆组成的整体为研究对象，约束为理想约束，主动力为。以EF中点为坐标原点建立坐标系，则有PT及αtan/ayA=sinBxlα=−，αsinlxD=)tan/(cos2ααalyC+−=则有：cosBxlδαδα=−，αδαδcoslxD=ααδαδ2cscsin2alyC−=由虚位移原理有：0)cscsin2(cos22=−+δααααδαalPTl由此解得：)12/csc(tan3−=laPTαα已知AD=DB=6m，CD=3m，在节点D的载荷为P，各杆自重不计。试用虚位原理求图示桁架中杆3的内力。ECrδ解：将杆3解除，并代之以相应的内力S。这样，结构ACD可以绕A点定轴转动，CB做平面运动，B、C、D点的虚位移如图所示。根据运动学中定轴转动的知识可知：DCrrADACδδ=所以：25DCCADrrACrδδ==δ(1)CB杆的速度瞬心为E点，35CE，AC==62BECD==，所以：25BCBErrCECrδδ==δ(2)利用虚位移原理可得：0DBPrSrδδ−=将(1)、(2)代入，得：0CCPrSrδδ−=由Crδ的任意性，可得：SP=SSDrδyBrδxϕ平台钢架由一个Γ形框架带中间铰C构成。框架的上端刚性地插在混凝土墙内，下端则搁在圆柱滚动支座上。求当1P和2P两力作用时，插入端A处的铅直反作用力。ArδCrδDrδBrδD解：欲求A端铅直方向力，解除A端铅直方向约束，代之以约束力N，则AC只能上下平动，A和C点的虚位移大小相同CArrδδ=，方向可知沿铅直方向，B点虚位移方向沿水平方向，由此可以确定CB的速度瞬心即为CB的折角处点O。可以求出2P作用点D的虚位移DCrrδδ和满足：CDrlhrδδ=由虚功原理列方程可得：021=+−DAArPrPrNδδδ解得插入端A铅直反作用力：21PhFPl=−。EN速度瞬心O试用虚位原理求图标桁架1、2两杆的内力。解：（1）先求1杆的内力。如图去掉1杆，代以作用力F，设F点虚位移为δ（方向向下），则点E，G，H的虚位移分别为33,,222EGHaaδδδδδδδ====，由虚位移原理有003cos60cos30022PPFFδδδδ+++=可得1233FSP==−。（2）现在求2杆的内力。如图，分析机构左半部分。设E点虚位移为δ（方向向下），则点G的虚位移为33Gaaδδ==δ，由虚位移原理有0012cos903cos6030PQSSδδδδ+++=可得20S=FFδδEδGδHS1δδGS2Q图示的三铰拱自重不计，求在水平力P作用下支座A和B的约束反力。解：解除B点Y方向上的约束，假设B点Y方向上的力为，有：BY0)2(=−δθaYPaB所以：PYB21=根据力平衡方程有：PYYBA21−=−=然后解除C点的约束，假设A点X和Y方向的力为和。对C点，根据力矩平衡方程，可以得到：AXAY0=−aYaXAA所以：PXA21−=再根据X方向上的力平衡，可以得到：0=++PXXBA所以：PXB21−=图示组合梁上作用有载荷P1=5kN，P2=4kN，P3=3kN，以及M=2kN·m的力偶。不计摩擦及梁的质量。试用虚位移原理求固定端A的约束力偶之矩MA。解：为求AM，首先解除A处约束，的力和虚位移如图所示。由虚位移原理12323AAMPPPM0δδϕδϕδϕδϕδϕ=−⋅−+⋅−=7于是12323225433AMMPPP=++−=+×+−×=KN·m均质杆AB的长为l，重为P，搁置在宽为a的槽内，如图所示。设A、D处光滑接触，试求平衡位置的θ角，并讨论其平衡的稳定性。xy解：建立如图所示的坐标系，以杆为研究对象，约束是理想的，主动力只有重力，系统的势能为：CmgyV=而θθatglyC