第五章-刚体力学基础习题课(第三讲)13

1第五章刚体力学基础习题课（第三讲）大学物理（一）主讲：陈秀洪一、小结二、例题2tdd1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动均相同，但不同；3）运动描述仅需一个坐标.,,Δa,v定轴转动的特点00zziiRvωRviiiiRa22iiinRRvanaaainiiiRitdd)(t1、刚体定轴转动的描述一、小结32、力矩Pz*OFdFrMosinMFrd:力臂d刚体绕Oz轴旋转,力作用在刚体上点P,且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的径矢.FrFrMo对o点的力矩F0,0iiMF0,0iiMFFFFFM4zOkFrFFFzFrkMzsinrFMzzFF1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量F2）合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩zFF对Z轴的力矩：FrMo沿Z轴的分量5mrJrmΔJmjjjd,223、转动惯量物理意义：转动惯性的量度.质量离散分布刚体的转动惯量2222112rmrmrmΔJjjj转动惯性的计算方法质量连续分布刚体的转动惯量mrrmΔJmjjjd22：质量元md转动惯量的决定因素为：转轴的位置。质量分布；总质量；6vrxyzom4、转动定律JM221JEk5、转动动能M与β具有：同轴性、同时性、同方向性。21dMA6、力矩的功7、刚体绕定轴转动的动能定理21222121d21JJMA(1)质点的角动量vmrL质点以角速度ω作半径为r的圆运动，相对圆心的角动量大小：JmrL2vrLLrpmosinrmvL大小8、角动量7（2）质点系的角动量：（3）刚体作定轴转动的角动量：iiiiiiivmrPrL)()(质点系内部所有质点对某一定点的角动量，即：作定轴转动的刚体，其内部所有质点绕轴做半径不等的圆周运动，具有相同的角速度：zzJL矢量式：00zzziiizJrmL)(2810、角动量守恒定律9、角动量定理：外MdtLd122121LLLddtMLLtt外zzMdtdL12zdM21zzttLLt（1）质点系角动量定理（2）刚体定轴转动角动量定理（1）质点系角动量守恒定律0:外条件M常矢量结论iiiiiivmrLL:（2）刚体定轴转动角动量守恒定律0zM条件：结论：常量zzJL9定轴转动角动量守恒定律讨论：②多个刚体，角动量守恒表达式为：CJLiii①单个刚体，角动量守恒即：=C刚体作惯性转动。zzJL0zM条件：结论：常量zzJL)(212211JJJJ120102z1J2J0z10③质点和刚体，角动量守恒表达式为：JvmrJvmr00注意：是质点速度在转动平面内的分量。vv、0omrv000vJrmvrmv011④对于非刚体，即转动惯量变化。角动量守恒的表达式：0dJdJ)J(dLd若动作后角速度增加，则与d同向，所以JJlnJJlndJdJdJdJJJ0000000即：例如：花样滑冰运动员。问题：花样滑冰运动员由伸臂到收臂动能如何变化？12刚体力学习题课（14）1.质量为M的匀质圆盘，可以绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘挂有质量为m，长为L的匀质柔软绳索(如图)，设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长之差为S时，绳的加速度的大小。x01x2xs解:受力分析如图:gxLm22Tr2T1TNgrLmM)(gxLm11T二、例题13x01x2xsgxLm22Tr2T1TNgLmrM)(gxLm11T1111axLmTgxLm(1);2222axLmTgxLm(2))21(2212rLmrMrrTrT(3);2211;TTTT(4)raaa21(5)21xxrL(6)12xxs(7)解得:LMmsmga)2(1a2a142.固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴00′转动，设大小圆柱的半径分别为R和r，质量分别为M和m，绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和物体m2相连，m1和m2则挂在圆柱体的两侧，如图所示，设R=0.20m，r=0.10m，m=4kg，M=10kg，m1=m2=2kg，求柱体转动时的角加速度及两侧绳中的张力。1m2moo解：受力分析如图)1(1111amTgm)2(2222amgmT1mgm11T2mgm22T1T2T)3()2121(2221mrMRrTRT).7();6();5();4(221121TTTTraRa).(13.62121)(222212221sradrmRmmrMRgrmRmNRmgmTT2.171111NrmgmTT8.2022221a2a153.长为L的均匀细杆可绕过端点O的固定水平光滑轴转动。把杆抬平后无初速地释放，杆摆至竖直位置时，刚好和光滑水平桌面上的小球m相碰，如图所示，球的质量和杆相同，设碰撞是弹性的，求碰后小球获得的速度.00vL解:机械能守恒:0)31(212202mLLmg碰撞:角动量守恒,机械能守恒.)31()31(202mLmLvmL222202)31(2121)31(21mLmvmL解得:gLv321(1)(2)(3)16ff对于(2)式,也可从如下得到:设碰撞时间为:tv0对小球由质点的动量定理:mvtf对棒由角动量定理:L0.)(0JJtΔLf231mLJff0223131mLmLmLv174.一半径为R＝0.30m，质量为M＝15kg，质量均匀分布的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动。现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量m＝8.0kg的物体。不计圆柱体与轴之间的摩擦，求物体自静止下落，5s内下降的距离。mMoR解：受力分析如图gmTT)1(maTmg)2(212MRTR)3(TT)4(RaMmmgth22解得：)5(212ath)(2.63m18例1、一长为l,质量为的竿可绕支点O自由转动.一质量为、速率为的子弹射入竿内距支点为处，使竿的偏转角为30º.问子弹的初速率为多少?vamm解把子弹和竿看作一个系统.子弹射入竿的过程系统角动量守恒)31(22malmamvoa'mv30223'3malmamvm射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，机械能守恒.)30cos1(2lgm222)31(21malm)30cos1(mgamamalmmalmg6)3)(2)(32(22v19例2：长为L的匀质细棒，一端悬于O点，自由下垂，紧接O点悬一单摆，轻质摆绳的长为L，摆球的质量为m，单摆从水平位置由静止开始自由下摆，与细杆作完全弹性碰撞，碰后单摆停止。求：(1)细杆的质量；(2)细杆摆动的最大角度θOLm解:)1(212mgLmv球下摆机械能守恒)2(JmvL球与细杆作完全弹性碰撞角动量守恒：机械能守恒：)3(212122Jmv)4()cos1(2212LMgJ杆摆动机械能守恒：解得:31cos3mM231MLJv20例题3、一均匀圆盘,质量为M,半径为R,可绕铅直轴自由转动,开始处于静止状态,一个质量为m的人,在圆盘上从静止开始沿半径为r的圆周走动,如图所示.求当人走完一周回到盘上原位置时,圆盘相对于地面转过的角度..rRrv解:,rv设人对盘的速率为圆盘绕轴的角速度为rvvr人对地速度为v由人、圆盘组成的系统对铅直轴角动量守恒021)(2MRrrvmr2221:MRmrmrvr解得21.rRrvvdtd:由于0,0:0t初始trtMRmrdtmrvdt022021trdtvMRmrmr02221222212MRmrmr式中:负号表示人走动的方向与圆盘转动的方向相反.2221MRmrmrvr22例4：一根长为l，质量为m的匀质细杆，一端与光滑的水平轴相连，可在竖直平面内转动，另一端固定一质量也是m的小球，且小球半径Rl。设杆由水平位置自由释放。求：杆下摆至任意角度时的角速度和角加速度mgmgO23解：细杆在下摆过程中，重力矩作用杆的质心处，即：cos21lmgM小球的重力矩：cos2lmgM由转动定律：222131mlmlJJJJMM球杆所以有：)31(coscos222mlmllmglmg即：lg8cos9mgmgO24dlgdlgdddtddddtd8cos98cos9即：008cos9dlgd解得：lg4sin9mgmgO利用机械能守恒定律求解：021sin2sin2Jmglmgl2231mlmlJ25例题5、如图,一矩形匀质薄板ABCD,长为l、宽为d、质量为m。板绕竖直轴AB以初角速度转动，阻力与薄板表面垂直并与面积及速度的平方成正比，比例系数为k。问经过多少时间后，薄板的角速度减为初角速度的一半？0解：这是定轴转动问题，利用定轴转动定律求解。如图：取面元ldxdsxdxABCDldxo受阻力：ldxxkdf2)(对轴的阻力矩：dxlxkdM32所有对轴的阻力矩：4203241ldkdxlxkMd26xdxABCDldxo4203241ldkdxlxkMd面密度：ldm，板对轴的转动惯量：23023131mdldldxxJd由定轴转动定律：dtdJMdtdmdldk2423141即：22200034dkldmdtt解得：0234kldmt27例题6.装置如图所示,绳的上端绕在圆柱上,下端系一重物,质量为m.重物自然下垂,由静止开始下落,并带动圆柱自由转动.求重物降落高度为h时的速率v.已知圆柱的质量为M,半径为R.(绳子的质量不计且不可伸长.)MhmvR解:恒地组成的系统机械能守Mm,222)21(2121MRmvmgh（1）Rv（2）mMmghv22:解得TTgm法二:maTmg221MRTRRaTT;Mmmga22ahv2mMmgh2228例题7.如图所示,两个均匀圆柱各自绕自身的轴转动,两轴互相平行.圆柱半径分别为质量分别为.开始时两柱分别以角速度同向旋转.然后缓缓移动它们,使之相互接触.求两柱的最终角速度21,RR21,MM21,.,211M11R2M22R1M2M121R2R1f2f解:2211RR（1）)(111111JJdtfR(2))(222222JJdtfR（3）21ff（4）2222211121;21RMJRMJ（5）)(2112221111MMRRMRM)(2122221112MMRRMRM29例题8.如图，已知：木板宽L=0.60m、质量M=1