近世代数课件--3.7-理想

§7理想•7.1定义及例子•7.2理想的交与和•7.3除环的理想•7.4生成理想7.1定义及例子在这一节里我们要讨论到一种特别重要的子环，就是理想子环,简称为理想(Ideal).理想在环论里的地位同不变子群在群论里的地位类似。定义环R的一个非空子集I叫做一个理想子环，简称理想，假如（ⅰ）（ⅱ）(强闭合性),abIabI,,aIrRraarI注1：理想一定是一个子环.由（ⅰ），一个理想是一个加群，由于（ⅱ），对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个子环。但（ⅱ）不仅要求的两个元的乘积必须在里，而且进一步要求，在一个任意元同R的一个任意元的乘积都必须在里,所以称为强闭合性。AIIAAA注2：可以定义左(右)理想,p113,ex6.注3：一个环R至少有以下两个理想：1.只包含零元的集合，这个理想叫做R的零理想；2.R自己，这个理想叫做R的单位理想。两个通称为平凡理想.我们举两个例。例1看整数环R。那么一个整数，n的所有倍数作成一个理想。0nrnrR例2看一个环R一元多项式环。那么所有多项式作成的一个理想。Rx2121nnaxaxaxnRx7.2理想的交与和命题1设是R的两个理想,那么(i)仍然是理想(ii)仍然是理想,称为和.12,II12II12121122{,}IIaaaIaI注4：一般不是理想.是包含的最小理想.12II12II12II7.3除环的理想定理1一个除环R只有两个理想，就是零理想和单位理想。证明假定是R的一个非零理想。那么，由理想的定义，，因而R的任意元这就是说，证完。I0Ia11aaI1bbIIR=注5：在一个有单位元1的环中,如果理想包含一个可逆元,那么是单位理想.注6：定理1的逆命题不成立(p119,ex.4).II7.4生成理想给了一个环R，我们可以用以下方法做一些R的理想,称为生成理想.一个元素生成的理想—主理想设是R里一个元，利用我们作一个集合，包含所有可以写成形式的元。那么aaII11,,,,mmiixayxaysaatnaxystRn是整数[1]是R的一个理想。因为：两个这种形式的元相减显然还是一个这种形式的元；用R的一个元r从左边去乘一个元也得到一个这种形式的元，就是用r从右边去乘的元情形一样。[2]显然是包含的最小的理想。IA11mmrxayrxayratrsnraAIa定义2上面的叫做由元生成的主理想。这个理想我们用符号来表示。Iaa以下用到最多的理想就是主理想。一个主理想的元的形式并不是永远象上面那样复杂。[1]当R是交换环时，的元显然都可以写成的形式[2]当R有单位元的时候，的元都可以写成的形式，因为这时，aa,ranarRn是整数a,iiiixayxyR1,1,(1)1sasaatatnana[3]当R既是交换环又有单位元的时候，的元的形式特别简单，这时它们都可以写成因此,这时也可以写出aR。ararRa例3.例1里的理想就是由n生成的主理想。n注7：如果R=2Z,(4)的元素形如:???多个元素生成的理想12,,,maaa在环R里任意取出m个元,主理想的概念容易加以推广。定义3m个主理想的和,叫做生成的理想。这个理想我们用符号来表示。12()()()maaa12,,,maaa12,,,maaa注8：是包含的最小理想。12,,,maaa12,,,maaa例4在Z中,(a,b)可以简化为主理想.我们举一个例例5在一些环中,(a,b)不可以简化为主理想假定是整数环R上的一元多项式环。我们看的理想。因为是有单位元的交换环，由所有的元RxRx2,xRx2,x12122,pxxpxpxpxRx作成：换一句话说，2刚刚包含所有多项式（1）我们证明，不是一个主理想。假定，那么，因而但这样，。但都不是（1）的形式，这是一个矛盾。012,0nniaaxaxaRn2,x2,xpx2,pxxpx2,qxpxxhxpx2qxpxpxa1xahxa12,pxx1作业P113:1,5