第八讲-数学史融入数学课堂教学

第八讲数学史融入数学课堂教学的方法如何将数学史融入数学教学？•数学史在数学教学中的各种作用正在被越来越多的研究所证实，也逐步成为各国数学教育界的共识。随着HPM研究的深入开展，学术界日益注重数学史融入数学教学的可操作性具体方法的探讨以及数学史在数学教育中作用的实际证据的获取。如何将数学史融入数学教学的实践探索是未来HPM研究的重要方向之一。如果不注重实际操作的研究，将数学史融入数学教学恐怕只是一句空洞的口号而已。第一节数学教学中如何运用数学史•1.1将数学史融入数学教学的层次•对于数学史融入数学教学，存在着很多片面的理解，最普遍的是将其理解为在数学课堂讲点数学史以提高学生的兴趣，显然这只是数学史应用的较低层次。很多学者赞成使用“将数学史融入数学教学”这一说法，是因为它“更适合表达数学史在分析学习和理解过程方面的效果”教师应用数学史至少可以分为三个层次：(1)讲故事；(2)在历史脉络中比较数学家所提供的不同方法，拓宽学生的视野，培养全方位的认知能力和思考弹性；(3)从历史的角度注入数学活动的文化意义，在数学教育过程中实践多元文化关怀的理想。1.2将数学史融入数学教学的过程将数学史融入数学教学并不是在教学中插入几个历史故事那么简单，Furinghetti认为，融入的过程一般包括以下几个阶段：学习历史资料选出适合于课堂教学的话题分析课堂需要制定课堂活动计划完成方案对活动的评价。•经由T-C1-I循环即是教师融入教材编者所编写的教科书内容，领会教材的精神，做出自己的诠释。这是一般的数学教师在从事数学教学时经历的思考过程。当在数学教学中融入数学史之后，教师必须进入C2循环，领会古代数学家对数学内容所做的解释，经过自己的诠释，显现于教学。同时，教师还必须斟酌C1和C2之间的连结，此时，教师能够体会到教学目标是数学知识，这样，当真正进入实际教学时，教师的数学教学活动就不会迷失在漫无目的琐碎历史细节之中。•这也正是荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal,1905～1990）所主张的“经过引导的再创造”(guidedre-invention)的真正含义：“我们不应该完全遵循发明者的历史足迹，而是经改良过同时有更好引导的历史过程。”•在C1和C2的连结上，教师可以采取不同的路径，例如：T-C1-I-C2-I-C1-I-…代表的是教师从教科书入手，寻找数学史料，然后来回地思考C1和C2之间的联系，用以教学。此时教师是针对教材寻找史料，对所寻找素材的重要性加以自我诠释。另外教师也可能经由T-C2-I-C1-I-C2-…等路径，这是因为当教师认识了HPM之后，当发现有趣的数学史料，也会进入C1，寻找适合的角度融入教学。HPM视角下的等比数列及教学设计高中数学课程标准要求：数学史对于比较全面了解和深刻认识数学本身，全面了解整个人类文明的发展具有重要意义。在本专题中，学生将通过生动、丰富的事例，概略地了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。本专题不必追求数学发展历史的系统性和完整性，通过学生喜闻乐见的语言与生动有趣的事例呈现内容，使学生体会数学发展的轨迹和重要思想。本专题的内容安排与教学可以采取多种形式，既可以由古到今，追寻数学发展的历史；也可以从现实的、学生熟悉的数学问题出发，追根溯源，回眸数学发展中的重要事件和人物。数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本的数学模型。在本模块中，学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视通过具体实例（如：教育贷款、购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等），使学生理解这两种数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。数列课时（12课时）及要求（1）数列的概念和简单表示法通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。（2）等比数列①通过实例，理解等比数列的概念。②探索并掌握等比数列的通项公式和前n项和公式。③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。④体会等比数列与指数函数的关系。一、数列的历史背景远古时期已存留下数列的某些痕迹，虽然那时对数列还是初步的和肤浅的认识，但从中看出数列问题具有非常悠久的历史，对数列历史发展的考察，将促使我们对数列加深理解，同时也为数列的教学挖掘一些具有启示性的素材。早在公元前3000年，古巴比伦就研究了数列：，并给出了它的和为：古希腊欧几里德的《几何原本》第九篇命题6：若几何级数一些项之和（前n项和）是质数（素数），那么这个和同最末项的乘积是完全数。其中就涉及到了几何级数（等比数列）的问题。2391,2,2,2,,299221211222n以上这些说明在人类文明的早期不仅注意到了等比数列的基本性质，而且也进一步研究等比数列的求和问题了。命题35给出等比数列求和公式（Heath1921）设有等比数列，公比为。则由得121,,,naaa(1)q1211nnnnaaaaaa112111nnnnnnaaaaaaaaa由合比定律，我们又有这等价于我们今天的1111211111nnnnnaaaaaaqaaaSa1(1)(1)1nnaqSqq《九章算术》中的第三章“衰分”（即比例分配问题）章第二题：今有牛，马，羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马（所食）”。马主曰：“我马食半牛（所食）”。今欲衰偿之，问各出几何。此问题其实就是一个等比数列的问题，而且是一个简单，典型的实际例子。术曰：置牛四，马二，羊一，各自为列衰（即所配的比率），副并（得所配比率的和）为法。以五斗乘未并者各自为实。实如法得一斗。上述问题的实质是，已知等比数列的项数，公比及各项和，求各项。由于公比是2，而因此这实际上是公式的实际应用。2312221125122a1(1)(1)1nnaqSqq第四题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺。问日织几何？术曰：置一，二，四，八，十六为列衰，副并为法。以五尺乘未并者，各自为实。实如法得一尺。此问题亦为已知等比数列的项数，公比及各项之和，求各项。公比仍是2，而因此234512222211234551222231a又如《孙子算经》卷下一题：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”此问题虽然是一个简单的计算问题，但是很明显题中的堤，木，枝，巢，禽，雏，毛，色的数目构成一个等比数列。这样的数列具有浓郁的生活气息，给我们的教学提供了参考素材。后来印度数学家婆什迦罗，阿拉伯数学家阿尔比鲁尼(AlBiruni,973—1048)，意大利数学家斐波那契(L.Fibonacci,1175—1250)都曾对等比数列的求和问题进行过讨论或研究。1410年，意大利数学家贝尔达曼迪(Prosdocimode’Beldamandi,1370—1428)在《整数算法》中给出如下的等比数列求和公式：其实此公式就是：这与现代公式是一致的。1211,1nnnaqaaaqaqaqaqq122,1nnaqaaaqaqaqq1484年，法国数学家休盖给出等比数列求和公式：1544年，德国数学家斯蒂菲尔则给出如下的公式：11nnqaqaSq1()(1)nnqaqaaSqa而后16世纪，德国数学家克拉维斯在其《实用算术概要》中给出等比数列的前n项和公式。这个公式给出了首项，末项，公比与和的关系，与贝尔达曼迪的一致。1()1nnnaaSaq17世纪，英国数学家沃利斯给出等比数列的求和公式其中A，R，V，S分别表示首项，公比，末项，和。1VRASR二、教学设计根据等比数列的历史发展特点，主要是历史悠久和实际联系性，我们将设计一个教学方案以强调等比数列的内在性质。1.等比数列的概念研究某一特殊简单的数列，给学生以直观的印象。如让学生思考这一数列有什么特点。进而得出等比数列的本质特征：该数列的任意后一项与前一项的比始终为一个常数。1,2,4,8,16,2.等比数列的性质让学生思考如何来表示这一类数列的性质？根据性质的含义可以用如下等式表示：把这些等式相乘，得3241231,,,,nnaaaaqqqqaaaa11123411123211,nnnnnnnnnaaaaaaqqaaqaaaaaa即所以试着让学生计算简单数列的前n项和传说古印度有人发明了一种棋类游戏，太子西拉谟打算建立发明者，让他自己选择奖品，发明者请求，按军棋上的格数赏给他一粒米，但必须第一格给他一粒米，第二格两粒米，第三格四粒米，以下各格的米粒是它的前一格米粒数的两倍，台资应允了他的请求，按照军棋盘上的64个方格计算应发给发明者的米粒熟，结果使太子目瞪口呆，因为全国的存米还不够数！现在我们来计算一下应给发明者的米是多少？米粒的数目是64个数的和，第一个数是1，第二个是2，以下每个数是它前一个数的两倍。如此，64个数的和为（1）考虑错位相减法，用2乘（1）式两边得（2）（2）减去（1）得236263122222S236364222222S这么多的米粒，若把它铺撒在地球的表面上，可以铺成约为9毫米厚的米层！难怪太子西拉谟发不出这奖品。6421184467440737709551615S由特殊导出一般算法求出前n项和公式22112311111221111112311111111111111nnnnnnnnnnnnnnnnqSaaaaaaqaqaqaqSaaqaqaqaqqqSaqaqaqaqaqqqSSaqaSaqqSna当时，两边同乘以，则有两式相减得：，即得当时,卖柑子小贩以其所有柑子的一半又一半卖给第一人，以其剩余的一半又半个卖给第二人，同样的方法，卖给其余的顾客，当第七个人来买时，小贩已经卖完了，问小贩原有柑子若干？236,11,22211112222111112242212xxxxxxxxxxx解：设原来的柑子数为则第一人所得：第二人所得：（）第三人所得：（）第六人所得：236236661111222211111222211122163xxxxxxxxxx于是即()()由此所以“聪明”的马贩有一马贩，用156元买了一匹马。买后又后悔了，退还给卖主。于是卖主说：“你嫌马价高，那你就只买我的马蹄铁上的钉子好了，马可以白送。每一马蹄铁上有6个钉子。第一个钉子只给我半分钱的一半，第二个钉子给半分钱，第三个钉子给一分钱，如此类推。”马贩被这廉价所诱惑，欣然应诺。请问马贩究竟要破费多少钱呢？即四万一千九百余元。卖主在这样的情况下，当然乐意将马白送了。——节选自《趣味代数一百例》2324-324221241112222421(12)11342419430311244nnqaq解：个钉子的价钱组成一等比数列：，，，，，，，，故S（分）•1.3将数学史融入数学教学的形式•将数学史融入数学教学有隐性和显性两种形式。•隐性融入是指根据历史对教学内容重新设计和加工，制作适用于教学的“历史套装”，在隐性融入过程中，数学史扮演的角色是担当教学设计的指南，因为‘数学史并非最