数学转化与化归思想

1.化归思想方法:就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段或方法将问题通过变换使之转化,进而达到使问题解决的一种方法,在解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,需将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自己较为熟悉)通过对新问题的求解,达到解决原问题的目的.2.转化思想方法:是实现问题的规范化、模式化以便应用已知的理论、方法和技巧,达到问题的解决,其思维过程的形式如图.解题的过程就是“转化”的过程,“转化”是解数学题的重要思想方法之一.2011年高考数学转化与化归思想3.转化具有多样性、层次性和重复性的特点,为了实施有效的转化,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论;既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,这就是多样性.转化原则既可以应用于沟通数学与各分支学科的联系,从宏观上实现学科间的转化,又能调动各种方法与技术,从微观上解决多种具体问题,这是转化的层次.而解决问题时可以多次的使用转化,使问题逐次达到规范化,这是转化原则应用的重复性.问题规范问题原问题的解答解答问题转化已知理论、方法、技巧问题还原1.函数y=sin4x+cos2x的最小正周期是（）A.B.C.D.解析.874cos8142cos322cos1)22cos1(22xxxxy4B222.在直角坐标系中,O是坐标原点,动点P在直线x=3上运动,若从动点P向Q点的轨迹引切线,则所引切线长的最小值为（）A.4B.5C.D.解析点Q的轨迹是以(-2,-2)为圆心,半径为1的圆,要使所求切线长最小,只要使圆心到直线x=3的距离最短即可.62C26))(sin2,cos2(ROQ3.设椭圆(a＞b＞0)的半焦距为c,直线l过（0,a)和(b,0),已知原点到l的距离等于,则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.解析直线方程为l:ax+by-ab=0,所以，变形为12e4-31e2+7=0,再解出.12222bxayc7212227212bacab21eB412133224.设O是坐标原点,A(1,1),若B(x,y)满足，则取最小值时,点B的个数（）A.1B.2C.3D.无数个解析点B（x,y）满足画出可行域如图阴影部分,又A(1,1),B(x,y),令=x+y=t，则由t得几何意义可知，当过圆中B1、B2两点时，t的值最小，此时tmin=3,所以取最小值时,点B的个数为2.2121012222yxyxyxOBOAOBOAOBOA2121012222yxyxyxB题型一等与不等的转化与化归【例1】若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围.解方法一（看成函数的值域）∵ab=a+b+3，∴即a＞1或a＜-3,又a＞0,∴a＞1,故a-1＞0.当且仅当,即a=3时取等号.,013,0,13aabaab而9514)1(14)1(5)1(132aaaaaaaaab141aa又a＞3时，是关于a的单调增函数.∴ab的取值范围是［9，+∞）.方法二（看成不等式的解集）∵a，b为正数，∴ab≥9.【探究拓展】将一个等式转化成不等式，是求变量取值范围的重要方法，通常利用函数的单调性解答此类问题，或者利用基本不等式解答这类问题.,)(13,032)(.32,3,22舍去或解得即又ababababababbaababba514)1(aa变式训练1已知三实数a,b,c成等比数列,且a+b+c=m(m是正常数)，求b的取值范围.解方法一设三个实数为由a+b+c=m,得,,,bxbxb.3,00,,030,0,111311,21,0;21,0.11,)11(mmbbmmbmxxxxxxxxxxxxmbmxxb即或所以又或从而时当时当从而方法二因为a,b,c成等比数列，所以b2=ac,又a+b+c=m,所以则a、c是关于x的方程x2-(m-b)x+b2=0的两个实数根,所以Δ=［-(m-b)］2-4b2≥0,,2bacbmca3,00,,0),0(3,mmbbmmbm所以又解之得题型二正与反的转化与化归【例2】试求常数m的范围,使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分.解由题意可知，m≠0，所以设抛物线上两点关于直线y=m(x-3)对称，于是有：),(,),(222211xxxx:,1613)(21)(21221212221212221212221得消去所以xmxxxxmxxmxxxxxxmxx因为存在x1∈R使上式恒成立，即12m3+2m2+1＜0,也即(2m+1)(6m2-2m+1)＜0.因为6m2-2m+1＞0恒成立,所以2m+1＜0,所以.即当时,抛物线上存在两点关于直线y=m(x-3)对称.所以当时,曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分.0)161(24)2(22mmm21m21m21m.0161222121mmxmx【探究拓展】在进行正与反的转化时,一定要搞清楚问题的反面是什么,就本题而言,它的反面是“至少存在一条弦能被直线y=m(x-3)垂直平分”,进而将问题转化成对称问题,在解答问题时,正难则反是转化的一种有效手段.变式训练2已知a、b、c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.证明“不能同时大于”包含多种情形,不易直接证明,可用反证法证明.假设三式同时大于，414141,41)1(,41)1(,41)1(accbba∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a＞.这与假设矛盾，故原命题正确.641,641)1()1()1(,41)1(,41)1(,41)21()1(2ccbbaaccbbaaaa同理又题型三以换元为手段的转化与化归【例3】已知函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a).(1)求g(a)的表达式；(2)若g(a)=,求实数a的值,并求此时f(x)的最大值.解（1）因f(x)=2cos2x-2acosx-2a-1令t=cosx,则-1≤t≤1,21,122)2(cos222aaax.)2(41)22(122)2(1)(])1,1[(122)2(2)(222aaaaaaagtaaatth则且原函数为(2)由题意分析得:只有一种情况，所以令,其中-2＜a＜2,解得a=-1,此时,所以当cosx=1,即x=2kπ(k∈Z)时，函数f(x)的最大值为5.【探究拓展】通过换元将三角问题转化成较为熟悉的二次函数问题,应特别注意换元后t∈[-1,1],应讨论二次函数的对称轴与区间[-1,1]的位置关系,才能快速、准确解答此题.211222aa211222aa21)21(cos2)(2xxf变式训练3求函数的最大值和最小值.解设t=sinx+cosxZZxxxxxfcossin1cossin)(.212)(,)(432;212)(,)(42,.)12,2(21121)(,21cossin,2,2)4sin(2minmax22xfkkxxfkkxttttttgtxxx时当时当解得且则原函数可化为则题型四常量与变量的转化与化归【例4】设f(x)是定义在R上的单调递增函数，若f(-1-ax-x2)≤f(-2-a)对任意a∈[-1,1]恒成立，求实数x的取值范围.解由题意知,-1-ax-x2≤-2-a,即(1-x)a-x2+1≤0,令g(a)=(1-x)a-x2+1,所以原不等式等价于解得x∈(-∞,-2]∪[1,+∞)，所以实数x的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞).,0)1(0)1(gg,02022xxxx即【探究拓展】在解答这类问题时,往往是通过变换主元的方式，转换思维方式从而使问题的解答变得简洁、明快.变式训练4已知二次方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0中的a为正整数，问a取何值时此方程至少有一个整数根.解原方程即是(x2+4x+4)a=2x+7，∵x=-2不是原方程的解，∴又∵a为正整数，∴即x2+2x-3≤0，.)2(722xxa,1)2(722xx解得-3≤x≤1.又∵x是整数且x≠-2,∴x=-3,-1,0,1,把它们分别代入原方程得又因为a为正常数，故当a=1或a=5时,原方程至少有一个整数根.,11,470,51,13axaxaxax【考题再现】已知奇函数f(x)的定义域为实数集R,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,当时,是否存在这样的实数m,使对所有的均成立?若存在,求出所有适合条件的实数m;若不存在,请说明理由.202,0)0()cos24()32(cosfmmff【解题示范】解由f(x)是R上的奇函数可得f(0)=0,再利用f(x)的单调性,则可把原不等式转化为关于的三角不等式.f(x)在R上为奇函数,又在[0,+∞)上是增函数,故f(x)在R上为增函数,且f(0)=0.2分由题设条件可得,又由f(x)为奇函数,可得4分∵f(x)在R上为增函数,∴6分.0)cos24()32(cosmmff,4cos232cosmm.022coscos2mm即.)4cos2()32(cosmmff令∴0≤t≤1.于是问题转化为对一切0≤t≤1,不等式t2-mt+2m-2＞0恒成立.8分∴t2-2＞m(t-2),即又∵10分11分∴存在实数m满足题设的条件,12分.222恒成立ttm,224422)2(222tttt224m.224m,20,cost转化思想方法包含三个基本要素：1.把什么东西转化,即转化的对象；2.转化到何处去,即转化的目标；3.如何进行转化,即转化的方法.转化思想方法应遵循以下五条原则：1.熟悉化原则:将陌生等问题转化成熟悉的问题,以利于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决.2.简单化原则:将复杂问题转化成简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.3.和谐化原则:转化问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统一的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.4.直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.5.正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,应想到考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,是问题获得解决，或证明问题的可能性.一、选择题1.已知向量a=(1,1),b=(x,-1),若a与b所成的角不是锐角，则x的取值范围是（）A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.(-1,1]D.(1,+∞)解析假设a与b所成的角是锐角，则得x＞1,所以a与b所成的角不是锐角时，x的取值范围是（-∞,1］.,0121||||cos2xxbabaB2.已知a＞b＞c,a+b+c=0,当0＜x＜1时,代数式ax2+bx+c的值是（）A.正数B.负数C.0D.介于-1到0之间解析由a＞b＞c,a+b+c=0知a＞0,c＜0,令f(x)=ax2+bx+c,则f(0)=c＜0,f(1)=a+b+c=0,设m是f(x)=0的另一根，则所以在区间(0,1)上,f(x)=ax2+bx+c0.,0acmB3.若直线2ax-by+2=0(a＞0,