数学史融入数学教学之策略概述一

數學史融入數學教學之策略概述(一)報告人：陳冠良前言強調數學如果脫離豐沃文化的基礎，就可能會被簡化為一系列的技巧，因此其形象將被扭曲，這種情形於學生接受教育時，就不斷地發生。使學習者瞭解數學是深深地鑲嵌於人類文化發展之中。數學史宛如一座巨大的冰山，本講座僅能做概略的描述，無法一窺全貌。以教學為主軸，嘗試藉由數學史的融入，為數學教學注入新的元素。為什麼要研究數學史『再也沒有什麼故事比科學思想發展的故事更有魅力了』。W.C.Dampier『學習數學史不一定產生更出色的數學家，但它產生更溫雅的數學家，學習數學史能更豐富他們的思想；撫慰他們的心靈，並培植他們的高雅氣質。』GeorgeSarton,1884-1955數學史於數學課堂中所扮演的角色媒介的角色額外的習題刺激另類思考人文啟發的角色跨學科整合減緩學習壓力激勵個別策略人格薰陶（多元）文化的關懷媒介的角色數學史以數學概念、數學方法和數學思想之起源與發展，及社會、政治、經濟和一般文化的關連為主要研究的範疇。以數學史為橋樑，能將學生的心靈與數學概念及思維作有機的連通。額外的習題透過適當的安排，使學生接觸文本，進一步瞭解數學在人類文明的歷程所扮演的角色。使學生瞭解數學是實際滲透於人類的生活之中。以《海島算經》為例：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前後相去千步，令後表與前表三相直。從前表却行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末三合。從後表却行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末三合。問：島高及去表各幾何？額外的習題摘錄自~kss-wsf/theory.htm#difference有一個海島，不知道它的高度和離岸距離，討論如何量度海島的高度和離岸距離（選自沈康身，中國古代测量技術的成就）刺激另類思考學習由不同的角度解決問題(一）。群羊逐草選自《算法統宗》甲趕群羊逐草茂，乙攜肥羊一只隨其後。試問甲及一百否？甲云所得無差謬。若得這般一群湊，再添半群小半群，得你一只來方湊，玄機奧妙誰參透？答曰：甲羊三十六只一元一次方程式古算法設牧童甲有x只羊，依題意列式：X（）+1=100(11/4)X=99X=36所以甲有36只羊在古時沒有一元一次方程時，經常用假設法，假設甲的羊數是12“若得這般一群湊，再添半群小半群”12+12+6+3=33現在已知羊數是100-1=99若甲童有x只X:12=99:33X=364/12/111刺激另類思考學習由不同的角度解決問題(二）。隔牆分銀選自《算法統宗》隔牆聽得客分銀，不知人數不知銀;七兩分之多四兩，九兩分之少半斤。答曰：六人，銀四十六兩二元一次方程組古算法－盈不足術設有x個客人，分y兩銀，依題意列式：y-7x=4…9x-y=8…+x=6y=46所以有6個客人，分46兩銀註：1斤＝16兩將出銀兩與盈（多）、不足列成方陣出銀79盈、不足48交叉相乘：7×8+9×4=9292÷﹙9-7﹚=46…銀﹙8+4﹚÷﹙9-7﹚=6…客※請思考一下，此算法道理為何？人文啟發的角色歷史性的啟發。數學發展的歷史，是文明史，亦是文化發展的歷史。「函數」的七次擴張，伴隨著科學的發展和社會的進步。哲學性的啟發。不可公度比的發現、芝諾悖論(二分說、阿奇里斯追龜、飛箭靜止)審美性的啟發。9*9+7=8898*9+6=888987*9+5=88889876*9+4=8888898765*9+3=888888987654*9+2=88888889876543*9+1=8888888898765432*9+0=888888888跨學科整合科學、藝術、歷史、音樂、建築等皆與數學息息相關。數字與詩：A.一去二三里，煙村四五家。樓台六七座，八九十枝花。B.一花一柳一點磯，一抹斜陽一鳥飛一山一水一中寺，一林黃葉一僧歸。…清。何佩玉黃金分割：埃及金字塔、希臘雅典帕特農神廟、維納斯女神像、芭蕾舞演員墊起腳尖、窗戶大小規格等。人體的四個黃金分割點：肚臍、咽喉、膝蓋、肘關節。肚臍以上與肚臍以下咽喉至頭頂與咽喉至肚臍膝蓋至腳後跟與膝蓋至肚臍肘關節至肩關節與肘關節至中指尖減緩學習壓力瞭解數學發展是歷經千百年的累積，藉以減輕在授課時數侷限下，學生學習數學所產生的挫折與壓力。HPM通訊第二卷第一期諭王道化：朕自起身以來，每日同阿哥等察【阿而熱巴拉新法】，最難明白，他說比舊法易，看來比舊法愈難，錯處易甚多，騖突處也不少......還有言者：甲乘甲、乙乘乙，總無數目，即乘出來亦不知多少，看起來想是此人算法平平耳。（參考【掌故叢編】二輯【清聖組諭旨二】）激勵個別策略學生的思維與數學發展歷程的比較，可使學生意識到數學的『溫度』。又有九十一分之四十九。問約之得幾何？答曰：十三分之七。約分術曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。「可半者半之」:分子和分母可以用2除之者，先同除以2「副置分母子之數」:(91,49)「以少減多」：(91-49,49)=(42,49)=(42,49-42)=(42,7)「更相減損，求其等也」：(91-49,49)=(42,49)=(42,49-42)=(42,7)=…=(7,7)，7就是「等數」。「以等數約之」：分子與分母同除以7以上方式與輾轉相除法有異曲同工之妙，可於介紹輾轉相除法前做鋪陳或兩法之比較。人格薰陶由數學家契而不捨的精神激發學生求真、求善、求美的情懷。引導學生善用理性思考解決問題。分析、歸納、演繹、類比（多元）文化的關懷不同文化與地區對數學的認知與發展歷程，同中有異，異中存同。認識不同文明的發展，進而尊重與關懷各種不同文化。如何在數學教學中融入數學史：know-how基本教學策略：說故事：提供銘言佳句：有畫龍點睛之效引入另類解法貼近文本與生活脈絡連結如何在數學教學中融入數學史：know-how進階教學策略（一）歷史「花絮」（snippets）數學史的原始文獻（primarysources）練習題（worksheets)提供2-3堂課使用的「歷史套裝」（historicalpackages）恰當地使用歷史上出現的謬誤（errors）、另類概念（alternativeconceptions）、觀點的改變（changeofperspective）、隱含假設的修訂（revisionofimplicitassumptions）以及直觀論證（intuitivearguments）等等如何在數學教學中融入數學史：know-how進階教學策略（二）歷史上的問題回到過去的數學實驗活動數學話劇多媒體工具戶外數學古蹟的教學活動利用網路搜尋資料建立讀書會基本教學策略--說故事數學故事的八種類型「數學是什麼？」的故事：「為什麼要學數學？」的故事：「數學的人文啟發」的故事：「數學應用於日常生活」的故事：「數學益智」的故事：「數學文本」的故事：「數學發現」的故事：「數學家」的故事：「數學是什麼？」的故事數學歷史解釋的幾大方向：按時代區分按數學對象、方法等本身的變化過程。按數學發展的社會背景。「數學的人文啟發」的故事數學的歷史大部分隱藏在我們所見的文化中，也牽涉到人類生活的每一層面。舉凡交易、農作、宗教、打仗等都與數學發生交互的影響。「數學應用於日常生活」的故事數學思考與所有人類活動息息相關。如：地圖繪製、航海、透視藝術、無線電、電視、電話、電腦等。生物世界的數學本質，可從費波那契數列中略窺一二，尤其是在植物世界，例如；葉子沿著莖的排列，花瓣的數目，百合花有三個花瓣，毛良有五個花瓣，飛燕草有八瓣，金盞花有十三瓣，在向日葵中也發現費氏數列。「數學益智」的故事埃拉托斯特尼(Eratosthenes,276B.C.~195B.C.)測量地球圓周長：幾何韓信點兵：同餘丟番圖的墓誌銘：代數尤拉七橋問題：一筆畫莫比烏斯帶：單側區面「數學益智」的故事【同餘小傳】：一、金庸武俠小說射雕英雄傳中有一段故事：有一位住在黑沼，中自稱神算子的瑛姑，武功高強，數學卻不甚高明，經常苦思數月，解一些算術或代數中的問題。郭靖與黃蓉因逃避裘千仞的追蹤，誤入瑛姑住的污泥湖沼，離開前，黃蓉用竹杖在地下細沙上寫了三道算題。其中一道為『鬼谷算題』：今有物不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二，問物幾何？黃蓉對郭靖說：這三道題目，半年之內她必算不出來，叫她的頭髮全都白了。此一問題，便是後來被西方數學家稱為中國剩餘定理（ChineseRemainderTheorem）之一特例。最早出現在孫子算經中（因此在中國亦稱為孫子定理），後來流傳於民間以不同的故事出現，如韓信點兵，後來又有一些詩或口訣，給出此題之解，如：三人同行七十稀，五樹梅花二十一枝，七子團圓正月半，除百零五便得知。二、同餘的概念是高斯（Gauss，1777-1855）在他於西元1801年出版的算學研究（DisquisitionesArithmetica）一書中最先引進。「數學文本」的故事普林頓322的泥版上（如右圖），據依格包爾（ottoneuguebauer）的考證，巴比倫人還列舉出畢達格拉斯數組，近幾十年來依格包爾（ottoneuguebauer）詮釋了許多楔形文字泥版，對巴比倫的數學給出比過去更高的評價。「數學發現」的故事教授畢氏定理時，可以談談畢達哥拉斯（Pythagoras，580~500B.C.）的生平，及其所成立的畢達哥拉斯學派，其宗旨是『萬物皆數』，在幾何、數論、天文、音樂等，都有很卓越的研究成果。此學派教規甚嚴，不可洩漏教派之機密。但該學派卻發現邊長為1的正方形之對角線長度既非整數，也不是整數比所能表示，嚴重觸犯了畢氏學派的教條，相傳希伯索斯洩漏此一情形，而被其他信徒丟入海中處死，亦有數學史家認為畢是學派是研究其精神徽章五星圖時，發現與其教義矛盾的現象。畢氏定理又有百牛定理之稱，相傳畢達哥拉斯發現了直角三角形基本定律，後曾舉辦一次盛大的牛祭。從此以後，每當新的定理被發現所有的牛都怕的瑟瑟發抖。「數學發現」的故事勾股定理及其歷史：勾股定理被發現至今大約有三千多年的歷史，巴比倫、埃及都先後應用過它，在中國方面【周髀算經】（約公元前一百多年）記載，商高（約公元前1120年）答周公曰：「勾廣三，股修四，徑隅五」這裡勾指直角三角形的兩直角邊中較短者，股是指另一直角邊，徑則為斜邊。另一位陳子（公元前七—六世紀）與榮方討論測量問題時的對話：「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並以開方除之，得邪至日。」日高為股日下為勾邪至日為弦「數學發現」的故事圓面積之證明：好的證明是既發現又證明「數學發現」的故事「數學發現」的故事割之彌細，所失彌少；割之又割，以至於不可割，則與圓周，體而無所失矣。…劉徽「數學家」的故事「數學家」的故事在課堂上可多提供一些資訊給學生，讓他們感染大師的風範，大師之所以成為大師，包含了天賦、人文素養、毅力等等，說不定透過這種連結，在日後能激發更多的阿基米得、愛因斯坦、劉徽。再者，一些趣聞可減少學生對數學一些硬梆梆的成見。休息一下！Tobecountinue….