概率论与数理统计第二章习题解

-1-第二章随机变量及其分布习题解（习题二）1.ξ表示掷一颗骰子出现的点数，写出ξ的概率分布列，并画出分布函数的图形.解：由已知，ξ的取值为：1，2，3，4，5，6，且取每个值是等可能的，故ξ的概率分布列为：P(ξ=k)＝1/6，(k=1,2,3,4,5,6).（分布函数图略）.2.三张外表相同的纸片上各写着0，1，2，随机取其二，求所取纸片上的数字之和的概率分布.解：设ξ表示二数字之和，则ξ的取值为：1，2，3，且取各值的概率为：P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=1/3,∴二数字之和ξ的概率分布为：3.进行某种试验，设事件成功的概率为3/4，失败的概率为1/4，且各次试验相互独立，以ξ表示事件首次成功所需的试验次数，试写出ξ的概率分布.解：由已知，ξ～G(p),其中p=3/4,∴ξ的概率分布为：P(ξ=k)=(3/4)1)4/3(−k，(k=1,2,3,…).4.某传染病进入羊群，已知此传染病的发病率为2/3，求在50头已感菌的羊中发病头数的概率.解：设ξ表示发病羊的头数，则由已知：ξ～B(50，2/3)，∴在50头已感菌的羊中发病头数的概率分布为：P(ξ=k)=)(knkknqpC−=knkkC−）（）（313250，(k=0,1,2,…50).5.某批产品有80％的一等品，现进行重复抽样试验，共取4个样品，求其中ξ123P1/31/31/3-2-一等品数ξ的最可能值0k.解：由已知，ξ～B(4，0,8)，则(n+1)p=5×0.8=4,∴一等品数ξ的最可能值为：0k=4和3.6.鱼雷打击舰艇，每颗鱼雷的命中率为p，（0p1）,今不断发射鱼雷，直至命中舰艇为止，求发射鱼雷数目ξ的分布.解：由已知，ξ～G(p)，则发射鱼雷数目ξ的概率分布为：P(ξ=k)＝1)1(−−kpp，(k=1,2,3,…).7.设随机变量ξ的概率分布为：P(ξ=k)＝Na,(k=0,1,2,…,N),试求常a.解：由离散随机变量分布的性质：必须a≥0，且(N+1)Na=1,从而得：a=N/(1+N).8.从发芽率为99％的种子里随机的取100粒，求发芽粒数不少于97的概率.解：设ξ表示种子发芽数，则ξ近似地服从二项分布，即:ξ～B(100，0.99),则种子发芽粒数不少于97的概率为：P(ξ≥97)=P(ξ=97)+P(ξ=98)+P(ξ=99)+P(ξ=100)＝10099991002989810039797100)99.0()01.0()99.0()01.0()99.0()01.0()99.0(+++CCC≈0.982用普阿松分布近似求解：设ξ表示种子的不发芽数，则ξ～B(100，0.01)，从而近似地有：ξ～P(λ)，其中λ＝100×0.01=1,故种子发芽粒数不少于97的概率为：P(ξ≤3)＝1－P(ξ≥4)＝1－0.018988≈0.9810(其中P(ξ≥4)＝0.018988查普阿松分布附表1)9.设随机变量η的概率分布为：P(η=k)=!kakλ，(k=0,1,2…),λ0为常-3-数，试确定常数a.解：由离散型随机变量分布的性质：必须a≥0，且∑∑∞=∞====001!!kkkkaekakaλλλ，得λ−=ea.10.ξ服从普阿松分布，且已知P(ξ=1)=P(ξ=2)，求P(ξ=4).解：ξ～)(λP，且P(ξ=1)=P(ξ=2)，则有：λλλλ−−=ee22⇒022=−λλ，得：λ＝2，(λ=0不符题意舍去),∴P(ξ=4)=24!42−e≈0.09022.11.已知一电话交换台每分钟的呼叫次数服从参数为4的普阿松分布，求(1).每分钟恰有8次呼叫的概率；(2).每分钟呼叫次数大于8次的概率.解：已知呼叫次数ξ～P(4),则：(1).每分钟恰有8次呼叫的概率为：P(ξ=8)=P(ξ≥8)-P(ξ≥9)=0.051134-0.021363≈0.0298.(2).每分钟呼叫次数大于8次的概率为：P(ξ8)=P(ξ≥9)=0.021363≈0.0214.(注：P(ξ≥8)，P(ξ≥9)查普阿松分布附表1).12.函数=)(xf⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤−))00((,,022xxecxcx(c0),是否为一随机变量的概率密度，为什么？解：由已知：①.)(xf≥0，(x∈R)；②.∫+∞∞−dxxf)(＝∫+∞−−=∞+−=0221022cxcxedxecx-4-∴由分布密度的性质，该函数)(xf是一随机变量的概率密度.13.已知随机变量ξ的概率密度为：)(xf＝⎩⎨⎧))10((,,02它其xx，求ξ的分布函数)(xF；P(ξ≤1/2)；P(ξ=2).解:(1).由已知密度函数)(xf：①.当x≤0时，)(xF＝∫∞−xdx0＝0；②.当0x1时，)(xF＝∫∫==+∞−xxxxxdxdx0220020；③.当x≥1时，)(xF=∫∫∫==++∞−10210101020xdxxdxdxx.综合①②③，随机变量ξ的分布函数为：)(xF＝⎪⎩⎪⎨⎧≥≤)))1100(((,,,102xxxx(2).P(ξ≤1/2)＝F(1/2)=25.041212===xx(3).P(ξ=2)＝P(ξ≤2)－P(ξ2)＝F(2)-F(2-0)=1－1＝0；或者：由已解出分布函数可知，)(xF在2=x处连续，∴P(ξ=2)＝0.14.设连续性随机变量ξ的分布函数为：)(xF＝⎪⎩⎪⎨⎧≥≤)))1100,,,102xxxAx求：(1).常数A；(2).P(0.3ξ0.7)；(3).密度函数)(xf.解：(1).由分布函数)(xF的连续性：AAxxFxx==−−→→211lim)(lim,11lim)(lim11==++→→xxxF，则得：A＝1，从而ξ的分布函数为：-5-)(xF＝⎪⎩⎪⎨⎧≤≤)))1100,,,102xxxx(2).P(0.3ξ0.7)＝F(0.7)-F(0.3)=4.0)3.0()7.0(22=−(3).当1,0xx及时，)(xf＝)(xF′＝0；当0≤x≤1时：)(xf＝)(xF′＝xx2)(2=′，∴ξ的密度函数为：)(xf＝⎩⎨⎧≤≤））它其10,,02xx.15.设随机变量ξ的分布函数为：⎩⎨⎧≥−=−))00((,,01)(xxexFx，求(1).P(ξ≤2)；(2).P(ξ3)；(3).密度函数)(xf.解:(1).P(ξ≤2)=F(2)=8647.012≈−−e.(2).P(ξ3)=1-P(ξ≤3)=1－F(3)=0498.0)1(13≈−−−e.(3).x0时，)(xf＝)(xF′＝0；x≥0时，)(xf＝)(xF′＝xxee−−=′−)1(，∴ξ的密度函数为：)(xf＝⎩⎨⎧≥−））00((,,0xxex16.设随机变量ξ的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤−=)))2110(((,,,02)(它其xxxxxf，求；(1).ξ的分布函数)(xF；(2).作出)(xf及)(xF的图形.解：(1).当x0时，∫∫∞−∞−===xxdxdxxfxF00)()(；当10≤x时，∫∫∫∞−∞−=+==xxxududxdxxfxF002210)()(；当21≤x时，∫∫∫∫∞−∞−−−=−++==xxxxdttxdxdxdxxfxF010121212)2(0)()(；-6-当x≥2时，∫∫∫∫∫∞−∞−+=+−++==xxdtdxxxdxdxdxxfxF01021221210)2(0)()(＝1.∴ξ的分布函数为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤−−=))))212010((((,,,,1)2/1(12)2/1(0)(22xxxxxxxxF(2).()(xf与)(xF图形略).17.设ξ～N(3,22),求)2|(|ξP，)52(≤ξP，)3(ξP.解：)232()232(1)2()2()]2()2[(−Φ−−−Φ+=+−=−ξξξξPPP∪＝1＋)5.0()5.2(−Φ−−Φ＝1＋0.0062-0.3085＝0.6977.)5.0()1()232()235()52(−Φ−Φ=−Φ−−Φ=≤ξP＝0.8413-0.3085＝0.5328.)0()233(1)3(1)3(Φ=−Φ−=≤−=ξξPP＝0.5.18.测量某距离的误差ξ～N(0,220)，以m为单位，求一次测量的误差绝对值不超过30m的概率.解：由已知正态分布，一次测量的误差绝对值不超过30m的概率为：)5.1()5.1()2030()2030()3030()30|(|−Φ−Φ=−Φ−Φ=≤≤−=≤ξξPP＝2)5.1(Φ－1＝2×0.9332－1＝0.866419.设随机变量ξ具有如下的概率分布：ξ10Ppq-7-其中p＋q＝1，求nξη=的概率分布(n为正整数).解：ξ＝0时,η＝0，ξ＝1时，η＝1，∴nξη=的概率分布为：20.设随机变量ξ具有如下的概率分布：求(1).11+=ξη，(2).1222+=ξη的概率分布.解:(1).11+=ξη的概率分布为：(2).1222+=ξη的概率分布为：其中：)1()312()3(222===+==ξξηPPP＝)1()1(=+−=ξξPP＝323131=+.21.设随机变量ξ的密度函数为)(xfξ，求3ξη=的概率密度.解：η，ξ的对应取值函数：3xy=（Rx∈，Ry∈）单调增，反函数为η10Ppqξ－2－101P1/61/31/61/311+=ξη－1012P1/61/31/61/31222+=ξη139P1/62/31/6-8-31)(yygx==−，32131])([yyg⋅=′−，则3ξη=的概率密度为：)(31])([)]([)(33211yfyygygfyfξξη⋅⋅=′⋅=−−，(Ry∈且0≠y)22.设ξ～N(0,1),求(1)122+=ξη的概率密度.(2)η=|ξ|的概率密度.解：(1).①.由122+=xy≥1，得y1时，(η≤y)是不可能事件，∴)(yF＝=≤)(yPη0，∴y1时，)(yfη＝0；②.≥y1时：x0时，122+=xy单调减，反函数为211)1(21)(−−==−yygx，211)1(221])([－−−=′=′−yygx，此时122+=ξη的概率密度为：212111)1(221])1(21[])([)]([)(−−−−−−=′⋅−=yyfygygfyfξξη＝4121)1(41−−−yey－π.≥x0，122+=xy单调增，反函数为211)1(21)(−==−yygx，211)1(221])([－−=′=′−yygx，∴此时122+=ξη的概率密度为：212111)1(221])1(21[])([)]([)(−−−−⋅−=′⋅=yyfygygfyfξξη＝4121)1(41−−−yey－π-9-则≥y1时，122+=ξη的概率密度为：)(yfη＝4121)1(21−−−yey－π.综合①②，122+=ξη的概率密度为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥−=−)1()1(,,0)1(21)(41yyeyyfy－πη(2).由||xy=≥0，得y0时，(η≤y)是不可能事件，∴)(yF＝=≤)(yPη0，则)(yfη＝0.≥y0时：①.x0，xxy−==||单调减，反函数为)(1ygx−=＝－y，])([1′=′−ygx＝－1，∴此时η=|ξ|的密度函数为：])([)]([)(11′⋅−=−−ygygfyfξη＝2221)(yeyf−=−πξ.②.≥x0，xxy==||单调增，反函数为)(1ygx−=＝y，])([1′=′−ygx＝1，∴此时η=|ξ|的密度函数为：])([)]([)(11′⋅−=−−ygygfyfξη＝2221)(yeyf−=πξ.综合①②，≥y0时，η=|ξ|的密度函数为：222)(yeyf−=πη.故η=|ξ|的密度函数为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=−)0()0(,,02)(22yyeyfyπη-10-综合练习题二1.选择题：(1).随机变量ξ的分布函数)(xF＝P(ξ≤x)在(Rx∈)上(D).A.处处连续；B.必有间断点；C.处处左连续；D.处处右连续.解：若ξ是离散型随机变量时，