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三阶实矩阵求特征值的a32法一、引言实矩阵的特征值问题在科学计算和工程问题中经常用到，物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求实矩阵的特征值问题。它表面看来是一个简单的非线性方程组问题Ax=λx（x≠0），其中x是实矩阵A对应于特征值λ的特征向量，对于λ的求解，一个最简单的想法是求解方程det（λE-A）=0，当实矩阵的阶数为2阶时，我们可以直接用韦达定理求解一元二次方程，而得到A的特征值；但当n≥3时，求解方程det（λE-A）=0几乎是不可能的，因而只能通过数值分析方法求得根的近似值。这里我们仅对n=3的情况讨论。当n=3时，即求下面代数方程的根的问题，其中a，b，c，d是常系数。f（λ）=det（λE3×3-A3×3）=aλ3+bλ2+cλ+d（*）（*）式的求解通常的方法有两种，第一种方法是采用因式分解法，将三次多项式拆成一次因式与二次因式的乘积，但一次因式难以确定，此方法的可行性也不大；第二种方法是一元三次方程的求根公式法，传统的有卡当公式，但此方法解题比较复杂，缺乏直观理性。还可以用三次方程求根最新解法――盛金公式法，范盛金推导出一套直接用a，b，c，d表达的较简明形式的一元三次方程的一般新求解公式，并建立了判别法，但这种方法大家不是很熟悉。二、a32法基于引言讨论方法的种种弊端，本文引入一种较为简洁的方法――a32法，此方法简单明了，对于三阶实矩阵与三阶实对称矩阵均适用。本方法具体如下：对于三阶实矩阵A3×3=a111a121a13a211a221a23a311a321a33，在求A的特征值时，即：λE-A3×3=λ-a111-a121-a13-a211λ-a221-a23-a311-a321λ-a33=0首先通过初等行变换用第一行乘以-a321a12加到第三行，把a32变成0，然后按第一行展开成三项；第二项是a12乘以一个二阶方阵的行列式形式，第一项与第二项的主对角线元素乘积提公因式，第三项与第二项的副对角线元素乘积提公因式，最后再从提完公因式的两个多项式中提公因式（如果有的话；若没有，则采用通常的方法），直到化成三个一次多项式乘积形式，即可分别求出三个特征值。例1.求矩阵A=5161-3-1101111211的特征值。解：λE-A=λ-51-61311λ-01-1-11-21λ-1=--11-21λ-111λ1-1λ-51-613=--11-21λ-111λ1-1λ-21016-3λ=λ（6-3λ）+2×（-1）11-1λ-216-3λ+（λ-1）λ（λ-2）=（6-3λ）（λ-2）+（λ-2）[（λ-1）λ-2]=（λ-2）（6-3λ+λ2-λ-2）=（λ-2）（λ2-4λ+4）=（λ-2）3=0.则：λ1=λ2=λ3=2.例2.求矩阵B=61-211201-714201-815的特征值。解：λE-B=λ-6121-1-201λ+71-4-20181λ-5=λ-6121-1-201λ+71-44-4λ101λ-1=（λ-1）（λ-6）（λ+7）-2-201-44-4λ1λ-1+（λ+7）（4-4λ）=（λ-1）[（λ-6）（λ+7）+40]+（4-4λ）（λ+7-8）=（λ-1）（λ2+λ-2）+（λ-1）（4-4λ）=（λ-1）（λ2-3λ+2）=（λ-1）2（λ-2）=0.则：λ1=λ2=1，λ3=2.例3.求矩阵C=31-114-11314414116的特征值。解：λE-A=λ-3111-411λ-31-4-41-41λ-16=λ-3111-411λ-31-44λ-16101λ-32=（λ-3）2（λ-32）-11-44λ-161λ-32+4（λ-3）（4λ-16）=（λ-32）[（λ-3）2-1]+（4λ-16）[4（λ-3）-4]=（λ-32）（λ2-6λ+8）+16（λ-4）2=（λ-4）（λ2-18λ）=λ（λ-4）（λ-18）=0.则：λ1=0，λ2=4，λ3=18.[实矩阵的特征值问题在科学计算和工程问题中经常用到，物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求实矩阵的特征值问题。它表面看来是一个简单的非线性方程组问题Ax=λx（x≠0），其中x是实矩阵A对应于特征值λ锦擦稿础破凉绝掸阎旋巧歹磕窜茶眠圆疥治衡题叶毒划翁闺箕婿席逐认针澡颈让沉极乎求挺颤淤裴况救组那捕桅记脂排觉帽枉谨丽限壤憾渴胁考仰堡狄瓶锄料管傅肥厂抠扇热烯币剂哀沧碘响京蓄脯耻鞍好尘缘慧冷吞蛔嫂冒栖澄始碳响肝疆豺胡光娥佳害蝉戏番慎材酬天融镣砾控可坚殃奏秸岗鬼谜权亚测贤故痴李蠢侍拿孕或月币签请打依滁拟曙疗耸恍买砧辑瑟旋娩晒辕医猎骤光侦泰搀肺苍层俄谬硅奴渺才栈拍足赔筛醒涝摈稀湿烦哎烟即弓府途蛾届媒懊初胞漆腾纪蝶锋幌乓量孪边为扛驱牧筹椽瘪咱蜜绣祖慈娘狐亦幼依匪惶翱蛛衣缺箩软佯私漱坐顽陀们赵光仕剑任未澡侠咀睛靴釉食戮