1.1.1--任意角与弧度制

§1.1.1任意角oAB始边终边顶点角：一条射线绕着它的端点在平面内旋转形成的图形逆时针顺时针定义：正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不做任何旋转时形成的角（如果是零角，记作：=00)任意角xyo始边终边终边终边终边1)置角的顶点于原点终边落在第几象限就是第几象限角2)始边重合于X轴的非负半轴终边ⅠⅡⅢⅣ如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，我们称为轴线角那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分别是第几象限的角？－50°xyoxyo210°－450°xyo405°xyo－200°xyoxyo3003900-33003900=300+3600－3300=300－3600=300+1x3600=300+(-1)x3600300==300+0x3600300+2x3600,300+(-2)x3600300+3x3600,300+(-3)x3600…,…,与300终边相同的角的一般形式为300＋K.3600，K∈Z与ａ终边相同的角的一般形式为ａ＋K.3600，K∈ZS={β|β=a+k.3600,K∈Z}即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和。注意以下四点：①k∈Z；②是任意角；③k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成k·360º+(－30º)；④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍.例1.在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1)－120º；(2)640º；(3)－950º12′.解：⑴∵－120º=－360º+240º，∴240º的角与－120º的角终边相同，它是第三象限角．⑵∵640º=360º+280º，∴280º的角与640º的角终边相同，它是第四象限角．⑶∵－950º12'=－3×360º+129º48'，∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同，它是第二象限角．课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间(0º,90º)内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐角．例3写出终边落在Y轴上的角的集合。终边落在坐标轴上的情形xyo0090018002700+Kx3600+Kx3600+Kx3600+Kx3600或3600＋KX3600例3写出终边落在y轴上的角的集合。解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为S1={β|β=900+K∙3600,K∈Z}={β|β=900+2K∙1800,K∈Z}={β|β=900+1800的偶数倍}终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为S2={β|β=2700+K∙3600,K∈Z}={β|β=900+1800+2K∙1800,K∈Z}={β|β=900+（2K+1）1800，K∈Z}={β|β=900+1800的奇数倍}S=S1∪S2所以终边落在ｙ轴上的角的集合为={β|β=900+1800的偶数倍}∪{β|β=900+1800的奇数倍}={β|β=900+1800的整数倍}={β|β=900+K∙1800，K∈Z}｛偶数｝∪｛奇数｝＝｛整数｝XYO900+K∙36002700+k∙3600写出终边落在轴上的角的集合。解：终边落在轴正半轴上的角的集合为S1={β|β=K∙3600,K∈Z}={β|β=2K∙1800,K∈Z}={β|β=1800的偶数倍}终边落在轴负半轴上的角的集合为S2={β|β=K∙3600,K∈Z}={β|β=2K∙1800,K∈Z}={β|β=（2K+1）1800，K∈Z}={β|β=1800的奇数倍}S=S1∪S2所以终边落在轴上的角的集合为={β|β=1800的偶数倍}∪{β|β=1800的奇数倍}={β|β=1800的整数倍}={β|β=K∙1800，K∈Z}｛偶数｝∪｛奇数｝＝｛整数｝XYOK∙36001800+k∙3600yxyxyx900+900+900+2700+900+1800+900+900+1800+例31800+yx拓展1：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？第一象限：S={α|k·360°α90°＋k·360°，k∈Z}；第二象限：S={α|90°＋k·360°α180°＋k·360°,k∈Z}；第三象限：S={α|180°＋k·360°α270°＋k·360°,k∈Z}；第四象限：S={α|－90°＋k·360°αk·360°，k∈Z}.拓展2：如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分别是第几象限的角？90°＋k·360°α180°＋k·360°180°＋k·720°2α360°＋k·720°45°＋k·180°α/290°＋k·180°S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.例4写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤＜720°的元素写出来.例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来：(1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.解：(1)S={β|β=60º+k·360º，k∈Z},S中在－360º～720º间的角是60º+（－1）×360º=－280º；60º+0×360º=60º；60º+1×360º=420º．(2)S={β|β=－21º+k·360º，k∈Z}S中在－360º～720º间的角是－21º+0×360º=－21º；－21º+1×360º=339º；－21º+2×360º=699º．(3)β|β=363º14’+k·360º，k∈Z}S中在－360º～720º间的角是－2×360º+363º14’=－356º46’；－1×360º+363º14’=3º14’；0×360º+363º14’=363º14’．小结：1.任意角的概念正角：射线按逆时针方向旋转形成的角负角：射线按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不作旋转形成的角1)置角的顶点于原点2)始边重合于X轴的非负半轴2.象限角3)终边落在第几象限就是第几象限角3.终边与角α相同的角α＋K·360°，K∈Z1.1.2弧度制弧度制的定义:1.定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.用符号rad表示。2.正角的弧度数正数负角的弧度数负数零角的弧度数零用弧度做单位来度量角的制度叫做弧度制正角负角零角正数负数0任意角的集合实数集R3.任一已知角α的弧度数的绝对值|α|=—lr其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r为圆的半径.4.l=|α|r(弧长计算公式)5.角度制与弧度制的换算:360º=2πrad,180º=πrad1º=rad0.01745radπ1801rad=()º57.3º=57º18′180π0º30º45º60º90º180º270º6.特殊角的度数与弧度数的对应表:043223例1.按照下列要求，把67°30化成弧度：（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值。例2.将3.14rad换算成角度（用度数表示，精确到0.001).例3.利用弧度制来推导扇形的公式：lOSRlR.21(2)S;R21(1)S2由弧度的定义可知：圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径长的比的绝对值。定义的合理性1弧度rl=rOAB1弧度rl=rOAB与半径长无关的一个比值小结1.圆心角α所对弧长与半径的比是一个仅与角α大小有关的常数,所以作为度量角的标准.2.角度是一个量,弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.正角零角负角正实数零负实数尽量做做这两节的课后练习及选做学案上的部分题目！书面作业：P9A组1，2，3