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内容简介：本文详细介绍了权方和不等式的产生背景并通过大量实例系统展示了权方和不等式在是中学数学（包括奥林匹克数学）中的广泛应用；深刻揭示了其使用上的诸多技巧。权方和不等式专题研究“权方和不等式”是80年代初由湖北杨克昌教授命名的，其实质是Holder不等式的特例。在初等数学中的地位虽然不算突出，但对于中学数学（包括奥林匹克数学）中的很多与不等式有关的问题而言，权方和不等式却“堪称利器”。故在此对其做专题研究。一．权方和不等式的产生背景及其在中学数学（竞赛数学）中的应用引理1：1110,01,innniiiiiiiiaaiaλλλλ====≥∑∑∏若且则证明：()ln(0,)fxx=+∞因函数在上是凹函数1:0,0niiiiJensenaλλ==∑由不等式对且1a(当111:lnlnlninnniiiiiiiiaaλλλ===⎛⎞⎛⎞≥=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∏有jiaa=等号成立)()ln(0,)fxx=+∞又在上单调增11:inniiiiiaaλλ==≥∑∏故有(等号在jiaa=时取得)引理2：（Holder不等式）110,0(1,2),11iiabinppq=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=若且11111nnnpqpqiiiiiiiabab===⎛⎞⎛≤⋅⎜⎟⎜⎝⎠⎝∑∑∑则⎞⎟⎠证明：11111111pqiiiinnpqnnpqpqiiiiiiiiababpqabab====+≥⎛⎞⎛⎞⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑1由引理易知:11212111111()(111nppppppiiinnnpqnnpqpqiiiiiiiiabaaabbbpqabab=====++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+)n≤+=⎛⎞⎛⎞⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑∑故111111:nnnpqpqiiiiiiiabab===⎛⎞⎛≤⋅⎜⎟⎜⎝⎠⎝∑∑∑此即⎞⎟⎠qib（当piaλ=时取等号）注1：引理1实际上是加权算术平均与几何平均不等式的特例。注2：在引理2中令p=q=2即可得到Cauchy不等式。下面我们对引理2.实施两步特殊化处理：①令p=m+1则m0,原不等式变形为：11111111mmnnnmmmmiiiiiiiabab++++===⎛⎞⎛⎞≤⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑②做变换11,mimiimmaabb++==iib,将上不等式变形为：1111111mmnnnmmiiimiiiiaabb+++===⎛⎞⎛⎞≤⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑将上式整理为11111mnimniimmniiiiaabb++===⎛⎞⎜⎟⎝⎠≥⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑∑∑(0,0,0.iiiiabmabλ=等号在时取得).我们称上式（狭义）权方和不等式（m称为该不等式的权）。它的特点是分子的幂指数比分母高1次。灵活的选用（狭义）权方和不等式常常可以起到意想不到的化简效果。以下我们将从求极值和证明不等式两个方面来展示（狭义）权方和不等式的“化简魅力”。Ⅰ.用于求极值例1.1,1,2xyRxyxy+∈+=+1已知且求的最小值.()()()22221221232222112112,13222xyxyxyxyxxyy++≥+≥+=++=+==+=++21简解：1=，故11当且仅当，即时取得最小值.2例2．222118,,1abcRabcabc+∈++=++已知且，求的最小值()()3333222211211264112111,42abcabcabcabcabc++++≥=++==++====简解：等号在且即时取得例3．222223452345xyzuvwxyzuv++++=++++已知2=30,求的最小值.()()()()22225v()223451234yzuxw=++++简解：23456012345xyzuv++++≥=++++22260.xyzuvw=====当且仅当时取得最小值例4．*1,,1,0,nnxyRxynNxyλλ+∈+=∈+已知且.求的最小值.()()()()111111111111111111,,,11nnnnnnnnnnnnnnnnxyxyxyxyxyxyλλλλλλλλ+++++++++++++=+≥=+++====++简解：联立可解得在时取得最值.例5.,,0)0sincos2mmabyabmπαα⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠求函数(在，上的最小值.()()()11122222222222222222222222222122222sincossincossincosarctansincosmmmmmmmmmmmmmmmmmmabababyaababααααααααα+++++++b++++++⎛⎞⎛⎞⎛⎞+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎝⎠⎝⎠⎝⎠=+=+≥=+⎜⎟⎝⎠+⎛⎞==⎜⎟⎝⎠简解：当且仅当，即取得等号Ⅱ.用于证明不等式例6.114,,,abcRabcabbcac∈+≥−−−已知且求证：()2,0,0111142abcabbcabbcabbcacabbcbac∴−−++≥=−−−+−−−=−=+简证：由等号在即时取得.例7．3,,1,111abcabcRabcbca+4∈++=++≥+++已知且求证：()2222abcabcababcbcacabbccaabc++++≥+++++++简证：左=+)故()()(222223abcabcabbccaabbcca++=+++++≥++而()()()22311113abcabcbcaabcabc++4++≥=++++++++1.3abc===等号在取得3例8.3,,1,111abcabcRabcabc+4∈++=++≤+++已知且求证：111)11abc+++++简证：左=3-(1()21111111113abcabc++++≥=++++++而9493311144abcabc++≤−=+++故1.3abc===等号在取得例5与例6分别揭示了使用狭义权方和的两个典型技巧：一是调整分子分母幂指数差以利套用公式；二是凑分母简化分子以利不等号变向。注3:*10,,2niiiaasnn==≥∈∑例5与例6还可以进一步推广为：已知且N1212311niniiaaaanasnasasas=≤≤+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++++∑例9.2222,,33ababRabba+1∈+≥++已知：求证：()()()333222323232233322322222333333133abababababaabbabaabbabababababbaab++≥++++++++=+=++≥++=简证：左=而故有等号在时取得.3注4：222,,1888abcabcRabcbcacab+∈+++++本例向3元的推广：已知有≥以上我们是直接（或通过简单变形）使用权方和不等式证不等式，可谓“简洁明快”，实际上凑着使用权方和不等式证明不等式也有“小巧玲珑”之美，请看：例10.42IMO正是第届的原题.111222,,,1,.111111xyzRxyzxyzxy+∈++=++≥++z−−−+++已知：求证：()2111141121xyxy++≥=−−−−+简证:z4114114:111111yzxxz+≥+≥−−+−−+同理，y111222:1111111.3xyzxyxyz++≥++−−−+++===三式累加得等号在时取得z权方和不等式除了可以直接用，凑着用，还有一个更“神奇”的用法——变换着用。把看起来与权方和不等式“毫不相关”的问题通过特殊变换与权方和不等式联系起来，再解决之。例11.222,,,:()()()0abcababbcbccaca−+−+−≥已知为三角形三边长求证(),,(,,)则原不等式()()()()()()()()()2220xyyzxzyzzxyxzxxyzy⇔++−+++−+++−≥()()333222222222200.xyyzzxxyzxyzyzxxyzxyzzxyyzxxyzzxyxyzyzxxyzzxyxyzxyzabc⇔++−++≥⎛⎞⇔++−−−≥⎜⎟⎝⎠⇔++≥++++++≥=++++====而故原不等式成立且在即时取得等号axybyzczxxyzR+=+=+=+∈简证:做变换换元例12.已知正数满足,,abc1abc=，求证：1111121212abc++≥+++简证：做变换,,(,,yzxabcxyzRzxy)+===∈，则原不等式1222zxyzyxzyx⇔+++++22222222222zxyzxy2zyxzyxzyzxzxyxy++=++++++++而22221222xyzxyzxyyzzx++≥=+++++()1xyzabc=====当且仅当即时等号成立.≥5例13.111,,1,2.111abcabcabcabcabcbca+++⎛⎞++=++≤++⎜⎟−−−⎝⎠已知正数满足求证：,,,,,xyzabcxyzRxyzxyzxyz+===∈++++++简证：做变换（）则原不等式222222xyzyzxzxyxyzyzzxxyyzx++++++⇔++≤+++++2222223xzyxzyyzzzxxxy⇔≤++y+++22222222222222222222xzyxzyxzyxzyyyzzzxxxyyxzzxyzxyxzxxyzyxz++=++++++++而2()()()()22222223123xzyxzyxzyxzyyxzzxyxzxxzyxzy++++≥≥++++=13xyzabc=====当且仅当即时等号成立.例14．111,,12.abcabc++=已知均为大于的实数，且满足11abcabc1++≥−+−+−求证：()()222222222222222222222222221,1,1,111,,211131112111111111113xaybzcxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyz=−=−=−++=++++++≥++++=⇔++++++++++=++≥++++++简证：做变换:则原问题转化为：已知正数满足证明:注意到而此即()=2222332xyzxyzxyzabc+++≥++=====：等号在即时取得注5：例11中采用的变换被称为三角不等式的入门代换，是沟通代数不等式与三角不等式的重要手段。例12与例13实际上是先给出了两类条件不等式消去条件的（变换）方法，然后把问题化归到前面的“老路”上来，体现了一种“欲简先繁”的解题思想。6二．广义权方和不等式简介狭义权方和不等式解决了分子分母幂指数差为1时一类分式和的下界估值问题，那么当幂指数差大与1时这类分式和的下界又该如何确定呢？为解决这一问题，我们再给出一个简单引理：引理3：*0,12ixmnnN≥≥∈若，且，11mnnmiiiixxnn==⎛⎞⎜⎟⎜≥⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑则⎟（幂平均不等式特例）证明：略.()11111111111111111,0,1,0,0()*iiqpnqiiqqpppnpnqqqiiipnniiqpiqqqqnnniiiiiiiiipqpqabaaanaanbbbbb++=++−+++==+−=====≥+⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠=≥≥=⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑∑∑∑∑于是当时qi等号在()ijijaabbij==≠且时取得.（*）式就是广义权方和不等式，显然这个不等式等号取得的条件是相当苛刻的。这就决定了它的应用远没有狭义权方和不等式那样广泛。但是如果需要，直接使用应当说也是相当简捷的结束语以上我们系统研究了权方和不等式的产生背景及其在中学数学（包括奥林匹克数学）中的一些应用。最后我们可以用一句话来概括：用权方和不等式，简万般繁杂运算，直接用“简捷明快”；凑着用“小巧玲珑”；变换着用更是“威力无穷”。78