琴生不等式

1常用不等式琴生不等式：设)(xf是（ba,）内的凸函数，则对于（ba,）内任意的几个实数nxxx,,,21有)]()()([1)(2121nnxfxfxfnnxxxf，等号当且仅当nxxx21时取得。加权的琴生不等式：11221122(...)()()()nnnnfqxqxqxqfxqfxqfx，其中n121(,,...,0,1)niiqqqq且。例1、利用琴生不等式证明均值不等式。例2、(1)在△ABC中，求sinA+sinB+sinC和cosA+cosB+cosC的最大值。(2)若12,,...,naaa是一组实数，且12...naaak（k为定值），试求22212...naaa的最小值。2柯西不等式：设,(1,2,..,)iiabRin，则222111()()()nnniiiiiiiabab，当数组1212,,...,;,,...,nnaaabbb不全为零时，当且仅当(1)iibain时等号成立。推论1：对n个正数12,,...,naaa，有21()()iiiiana，当且仅当1...naa时取等号。推论1:对n个正数12,,...,naaa，有22()()iiiiana，当且仅当1...naa时取等号。例3、⑴已知实数a,b,c,d,t满足8abcdt,2222216abcdt，求t的最大值。⑵若正数a,b,c,满足1abc，求222111()()()abcabc的最小值。例4、设12,,...,(2)npppn，是1，2，…,n的任意一个排列，求证：122321111111...2nnnnnppppppppn3排序不等式：设有两个数组：1212....;....nnaaabbb，令S=1122...nnababab，11122...iininSababab，21211...nnnSababab，则有12SSS，当且仅当1212....;....nnaaabbb时取等号。例5、证明121212101010,,,abcabcabcRbccaab例6、有10个人各拿一只水桶到水龙头前打水，他们所花的时间分别是1分钟，2分钟，3分钟，…..，10分钟，因为只有一个水龙头，所以他们得排队打水。问：怎样适当安排他们的打水顺序，才能使这个排队等候打水的时间总和最小？最小多少？4例7、设,,,abcd都是正实数，证明不等式：2232323233abcdbcdcdadababc例8、△ABC三内角度数分别为A,B,C所对边长分别为a,b,c，证明：3aAbBcCPabc