2019年天津卷文科数学高考真题

2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·如果事件A，B互斥，那么()()()PABPAPB.·圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高.·棱锥的体积公式13VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}ABCxxR„，则()ACB（A）{2}（B）{2，3}（C）{-1，2，3}（D）{1，2，3，4}（2）设变量x，y满足约束条件20,20,1,1,xyxyxy……则目标函数4zxy的最大值为（A）2（B）3（C）5（D）6（3）设xR，则“05x”是“|1|1x”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（4）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（A）5（B）8（C）24（D）29（5）已知0.223log7,log8,0.3abc，则a，b，c的大小关系为（A）cba（B）abc（c）bca（D）cab（6）已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l.若l与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A和点B，且||4||ABOF（O为原点），则双曲线的离心率为（A）2（B）3（C）2（D）5（7）已知函数()sin()(0,0,||π)fxAxA是奇函数，且fx的最小正周期为π，将yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为gx.若2π4g，则3π8f（A）-2（B）2（C）2（D）2（8）已知函数2,01,()1,1.xxfxxx若关于x的方程1()()4fxxaaR恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（A）59,44（B）59,44（C）59,{1}44（D）59,{1}442019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）i是虚数单位，则5i1i的值为__________.（10）设xR，使不等式2320xx成立的x的取值范围为__________.（11）曲线cos2xyx在点(0,1)处的切线方程为__________.（12）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.（13）设0,0,24xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为__________.（14）在四边形ABCD中，,23,5,30ADBCABADA∥，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BDAE__________.三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,ABCDEF.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.（16）（本小题满分13分）在ABC△中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知2bca，3sin4sincBaC.（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求sin26πB的值.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD△为等边三角形，平面PAC平面PCD，,2,3PACDCDAD.（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；（Ⅱ）求证：PA平面PCD；（Ⅲ）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.（18）（本小题满分13分）设{}na是等差数列，{}nb是等比数列，公比大于0，已知1123323,,43abbaba.（Ⅰ）求{}na和{}nb的通项公式；（Ⅱ）设数列{}nc满足21nnncbn，为奇数,，为偶数.求*112222()nnacacacnN.（19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知3||2||OAOB（O为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x=4上，且OCAP∥，求椭圆的方程.（20）（本小题满分14分）设函数()ln(1)exfxxax，其中aR.（Ⅰ）若a≤0，讨论()fx的单调性；（Ⅱ）若10ea，（i）证明()fx恰有两个零点；（ii）设0x为()fx的极值点，1x为()fx的零点，且10xx，证明0132xx.2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考解答一．选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.（1）D（2）C（3）B（4）B（5）A（6）D（7）C（8）D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.（9）13（10）21,3（11）+22=0xy（12）4（13）92（14）1三.解答题（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{,},{,},{,},{,},{,},{,},ABACADAEAFBC{,},{,},{,},{,{,}},,BDBEBFCDCE{,},CF{,},{,},{,}DEDFEF，共15种.（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,{,},{,},{,},{,},}ABADAEAFBDBCEBFECFDFEF，共11种.所以，事件M发生的概率11()15PM.（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.满分13分.（Ⅰ）解：在ABC△中，由正弦定理sinsinbcBC，得sinsinbCcB，又由3sin4sincBaC，得3sin4sinbCaC，即34ba.又因为2bca，得到43ba，23ca.由余弦定理可得222222416199cos22423aaaacbBacaa.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得215sin1cos4BB，从而15sin22sincos8BBB，227cos2cossin8BBB，故15371357sin2sin2coscos2sin666828216BBB.（17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力.满分13分.（Ⅰ）证明：连接BD，易知ACBDH，BHDH.又由BG=PG，故GHPD∥.又因为GH平面PAD，PD平面PAD，所以GH∥平面PAD.（Ⅱ）证明：取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DN⊥PC，又因为平面PAC平面PCD，平面PAC平面PCDPC，所以DN平面PAC，又PA平面PAC，故DNPA.又已知PACD，CDDND，所以PA平面PCD.（Ⅲ）解：连接AN，由（Ⅱ）中DN平面PAC，可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角，因为PCD△为等边三角形，CD=2且N为PC的中点，所以3DN.又DNAN，在RtAND△中，3sin3DNDANAD.所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33.（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.n（Ⅰ）解：设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q.依题意，得2332,3154,qdqd解得3,3,dq故133(1)3,333nnnnannb.所以，na的通项公式为3nan，nb的通项公式为3nnb.（Ⅱ）解：112222nnacacac135212142632nnnaaaaabababab123(1)36(6312318363)2nnnnn2123613233nnn.记1213233nnTn,①则231313233nnTn,②②−①得，12311313(21)332333331332nnnnnnnTnn.所以，122112222(21)3336332nnnnnacacacnTn22(21)3692nnnnN.（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，由已知有32ab，又由222abc，消去b得22232aac，解得12ca.所以，椭圆的离心率为12.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，2,3acbc，故椭圆方程为2222143xycc.由题意，(,0)Fc，则直线l的方程为3()4yxc点P的坐标满足22221,433(),4xyccyxc消去y并化简，得到2276130xcxc，解得1213,7cxcx.代入到l的方程，解得1239,214ycyc.因为点P在x轴上方，所以3,2Pcc.由圆心C在直线4x上，可设(4,)Ct.因为OCAP∥，且由（Ⅰ）知(2,0)Ac，故3242ctcc，解得2t.因为圆C与x轴相切，所以圆的半径长