动点运动和面积的关系

1动点问题知识精要：1、所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.充分利用：分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想、转化思想。2、运动型试题通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。由于运动的不定性，在解决此类问题时要使用以静代动、分类讨论的解题思想方法，同时读一问，做一问，各个击破.（一）、应用勾股定理建立函数解析式。（二）、应用比例式建立函数解析式。（三）、应用求图形面积的方法建立函数关系式。精解名题：例1：点动型如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒）．（1）求当t为何值时，两点同时停止运动；（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）求当t为何值时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；（4）求当t为何值时，∠BEC=∠BFC．ABCDEFO2yxBAOP练习、直线)0(kbkxy与坐标轴分别交于A,B两点,OA,OB的长分别是方程048142xx的两根(OBOA),动点P从O点出发,沿路线O→B→A以每秒1个单位长度的速度运动,到达A点时运动停止.(1)直接写出A、B两点的坐标；(2)设点P的运动时间为t(秒),OPA的面积为S,求S与t之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)；(3)当12S时,直接写出点P的坐标,此时，在坐标轴上是否存在点M,使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.例2：线动型【例2】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设(点M在点N的上方).⑴写出A、B两点的坐标：A(,),B(,)；⑵设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；⑶在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？3练习、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（3，0）、（3，4），动点M，N分别从O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动.其中，点M沿OA向终点A运动；点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP.已知动点运动了x秒.(1)点P的坐标为（______,________）(用含x的代数式表示)；(2)试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值；(3)请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？例3：形动型【例3】如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A→B→C→D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．⑴则P点从A点运动到D点所需的时间为s；⑵设P点运动时间为t（秒），当t＝5时，点P的坐标为；若⊿OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．4练习.如图,已知直线128:33lyx与直线2:216lyx相交于点Cll12，、分别交x轴于AB、两点.矩形DEFG的顶点DE、分别在直线12ll、上,顶点FG、都在x轴上,且点G与点B重合.(1)求ABC△的面积;(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长;(3)若矩形DEFG从原点出发,沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为(012)tt≤≤秒,矩形DEFG与ABC△重叠部分的面积为S,求S关t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围.例4、以圆为载体的动点问题如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)，⊙M是△ABC的外接圆，M为圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）求阴影部分的面积；（3）在x轴的正半轴上有一点P，作PQ⊥x轴交BC于Q，设PQ＝k，△CPQ的面积为S，求S关于k的函数关系式，并求出S的最大值．yOxABPMQC5练习．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90º，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，PQ与⊙O相切？例5．动点与面积问题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．PADOBCQ6三、课后作业：1.如图，在梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，点E是BC的中点，且AB=AD=BE=2cm。动点P从点B开始，以1cm∕s的速度，沿折线B→A→D→E做匀速运动，同时动点Q从点B开始，以相同的速度，沿B→E→C→E做匀速运动。过点P作PF⊥BC于点F，设△PFQ的面积为S，点P运动的时间为x(s)（0x6）.（1）当点P在AB上时，直接判断出△PFQ的形状；（2）在运动过程中，四边形PQCD能变成哪些特殊的四边形？（直接判断，无需证明）并写出相应的x的取值范围；（3）求S与x之间的函数关系式.2.如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3cm，OB＝4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）（1）求AB的长，过点P做PM⊥OA于M，求出P点的坐标（用t表示）（2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？（4）若点P运动速度不变，改变Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值.yAOMQPBx73．在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．4.如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0,1)、B(2,0)、O(0,0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．CMOxy1341A1BDy＝x＋b285.如图，在平面直角坐标系中，直线112yx与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．6.如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)Ppp(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线myx(x＞0)和myx(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．97.如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12yxb交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图1备用图