全国中考数学压轴题集锦

2006年全国中考数学压轴题集锦1、（2006浙江金华）如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点,,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥x轴于点D.(1)求直线AB的解析式;(2)若S梯形OBCD＝433,求点C的坐标;(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.[解]（1）直线AB解析式为：y=33x+3．（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，33x+3），那么OD＝x，CD＝33x+3．∴OBCDS梯形＝2CDCDOB＝3632x．由题意：3632x＝334，解得4,221xx（舍去）∴Ｃ（２，33）方法二：∵23321OBOASAOB,OBCDS梯形＝334，∴63ACDS．由OA=3OB，得∠BAO＝30°，AD=3CD．∴ACDS＝21CD×AD＝223CD＝63．可得CD＝33．∴AD=１，OD＝２．∴C（２，33）．（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，∴1P（3，33）．②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=33OB=1．∴2P（1，3）．当∠OPB＝Rt∠时③过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°过点P作PM⊥OA于点M．方法一：在Rt△PBO中，BP＝21OB＝23，OP＝3BP＝23．∵在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，∴OM＝21OP＝43；PM＝3OM＝433．∴3P（43，433）．方法二：设Ｐ（x，33x+3），得OM＝x，PM＝33x+3由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．∵tan∠POM==OMPM=xx333，tan∠ABOC=OBOA=3．∴33x+3＝3x，解得x＝43．此时，3P（43，433）．④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．∴PM＝33OM＝43．∴4P（43，43）（由对称性也可得到点4P的坐标）．当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是：1P（3，33），2P（1，3），3P（43，433），4P（43，43）．2、（2006重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成11ACD和22BCD两个三角形（如图2所示）.将纸片11ACD沿直线2DB（AB）方向平移（点12,,,ADDB始终在同一直线上），当点1D于点B重合时，停止平移.在平移过程中，11CD与2BC交于点E,1AC与222CDBC、分别交于点F、P.(1)当11ACD平移到如图3所示的位置时，猜想图中的1DE与2DF的数量关系，并证明你的猜想；(2)设平移距离21DD为x，11ACD与22BCD重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原ABC面积的14.若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.[解]（1）12DEDF.因为1122CDCD∥，所以12CAFD.又因为90ACB，CD是斜边上的中线，所以，DCDADB，即112221CDCDBDAD所以，1CA，所以2AFDA所以，22ADDF.同理：11BDDE.又因为12ADBD，所以21ADBD.所以12DEDF（2）因为在RtABC中，8,6ACBC，所以由勾股定理，得10.AB即1211225ADBDCDCD又因为21DDx，所以11225DEBDDFADx.所以21CFCExCBDA图1PEFAD1BC1D2C2图3C2D2C1BD1A图2APCQBD在22BCD中，2C到2BD的距离就是ABC的AB边上的高，为245.设1BED的1BD边上的高为h，由探究，得221BCDBED∽，所以52455hx.所以24(5)25xh.121112(5)225BEDSBDhx又因为1290CC，所以290FPC.又因为2CB，43sin,cos55BB.所以234,55PCxPFx，22216225FCPSPCPFx而2212221126(5)22525BCDBEDFCPABCySSSSxx所以21824(05)255yxxx(3)存在.当14ABCyS时，即218246255xx整理，得2320250.xx解得，125,53xx.即当53x或5x时，重叠部分的面积等于原ABC面积的14.3、（2006山东济南）如图1，已知RtABC△中，30CAB，5BC．过点A作AEAB⊥，且15AE，连接BE交AC于点P．（1）求PA的长；（2）以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断BE与⊙A是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点C作CDAE⊥，垂足为D．以点A为圆心，r为半径作⊙A；以点C为圆心，R为半径作⊙C．若r和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相．切．，且使D点在⊙A的内部，B点在⊙A的外部，求r和R的变化范围．[解]ABCPEEABCPＤ图1图2（1）在RtABC△中，305CABBC，，210ACBC．AEBC∥，APECPB△∽△．::3:1PAPCAEBC．:3:4PAAC，3101542PA．（2）BE与⊙A相切．在RtABE△中，53AB，15AE，15tan353AEABEAB，60ABE．又30PAB，9090ABEPABAPB，，BE与⊙A相切．（3）因为553ADAB，，所以r的变化范围为553r．当⊙A与⊙C外切时，10Rr，所以R的变化范围为10535R；当⊙A与⊙C内切时，10Rr，所以R的变化范围为151053R．4、（2006浙江嘉兴）某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知AB所在抛物线的解析式为8412xy，BC所在抛物线的解析式为2)8(41xy，且已知)4,(mB．（1）设),(yxP是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）．①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）；②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？（3）在山坡上的700米高度（点D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E处，1600OE（米）．假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为2)16(281xy．试求索道的最大悬空．．高度．OxyABCmD47上山方向E长度高度[解]（1）∵),(yxP是山坡线AB上任意一点，∴8412xy，0x，∴)8(42yx，yx82∵)4,(mB，∴482m＝4，∴)4,4(B（2）在山坡线AB上，yx82，)8,0(A①令80y，得00x；令998.7002.081y，得08944.0002.021x∴第一级台阶的长度为08944.001xx（百米）894（厘米）同理，令002.0282y、002.0383y，可得12649.02x、15492.03x∴第二级台阶的长度为03705.012xx（百米）371（厘米）第三级台阶的长度为02843.023xx（百米）284（厘米）②取点)4,4(B，又取002.04y，则99900.3998.32x∵002.0001.099900.34∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚（注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度，共500级．从100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性）②另解：连接任意一段台阶的两端点P、Q，如图∵这种台阶的长度不小于它的高度∴45PQR当其中有一级台阶的长大于它的高时，45PQR在题设图中，作OABH于H则45ABH，又第一级台阶的长大于它的高∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚PQR（3）)7,2(D、)0,16(E、)4,4(B、)0,8(C由图可知，只有当索道在BC上方时，索道的悬空．．高度才有可能取最大值索道在BC上方时，悬空．．高度2)16(281xy2)8(41x)96403(1412xx38)320(1432x当320x时，38maxy∴索道的最大悬空．．高度为3800米．5、（2006山东烟台）如图，已知抛物线L1:y=x2-4的图像与x有交于A、C两点，（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。[解]（1）设l2的解析式为y=a(x-h)2+k∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称，∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）∴y=ax2+4∴0=4a+4得a=-1∴l2的解析式为y=-x2+4(2)设B(x1,y1)∵点B在l1上∴B(x1,x12-4)∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称∴B、D关于O对称OxyABC4ED47上山方向∴D(-x1,-x12+4).将D(-x1,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4∴左边=右边∴点D在l2上.(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则S=2*S△ABC=AC*|y1|=4|y1|a.当点B在x轴上方时，y1＞0∴S=4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大，∴S既无最大值也无最小值b.当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0∴S=-4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小，∴当y1=-4时，S由最大值16，但他没有最小值此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.∴AC⊥BD∴平行四边形ABCD是菱形此时S最大=16.6、（2006山东潍坊）已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数1ykx的图象与二次函数的图象交于AB，两点（A在B的左侧），且A点坐标为44，．平行于x轴的直线l过01，点．（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位0t，二次函数的图象与x轴交于MN，两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过FMN，，三点的圆的面积最小？最小面积是多少？[解]（1）把(44)A，代入1ykx得34k，一次函数的解析式为314yx；二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y轴，设二次函数解析式为2yax，把(44)A，代入2yax得14a，yxOl二次函数解析式为214yx．（2）由2