概率chapter6习题完整解答

1第6章习题答案6.1设)(tx为实函数，试证（1）)(tx为t的奇函数时，它的希尔伯特变换为t的偶函数（2）)(tx为t的偶函数时，它的希尔伯特变换为t的奇函数证明（1）：)(tx=)(txttxtx1)()(ˆ)(ˆ1)(1)()(1)()(1)()(ˆtxttxttxttxttxtx（2）)(tx=)(tx)(ˆ1)()(1)()(1)()(ˆtxttxttxttxtx6.3设)(tat是具有频谱)(wA的已知实函数，假定||时，)(A=0，且满足ww0，求（1）twta0cos)(和)exp()(210tjwta的傅立叶变换以及两个傅氏变换的关系（2）twta0sin)(和)exp()(20tjwtaj的傅立叶变换以及两个傅氏变换的关系（3）twta0cos)(和twta0sin)(的傅立叶变换关系解：（1）twtatx0cos)()(且)exp()(21)(0tjwtaty)]()([21)(00wwAwwAwX)(21)(0wwAwY（2）twtatx0sin)()(且)exp()(2)(0tjwtajty)]()([2)(00wwAwwAjwX)(2)(0wwAjwY6.4对于窄带平稳随机过程ttYttXtZ00sin)(cos)()(。若已知)(tZ的自相关函数为0cos)()(aRZ，求证：)()()(aRRYX。证：2ttYttXtZttYttXtZ0000cos)(sin)()(ˆsin)(cos)()(，故有ttZttZtYttZttZtX0000sin)(cos)(ˆ)(sin)(ˆcos)()()()()(tXtXERX)(sin)(ˆ)(cos)(sin)(ˆcos)(0000ttZttZttZttZE)(cossin)()(sincos)()(sinsin)()(coscos)(00ˆ00ˆ00ˆ00ttRttRttRttRZZZZZZ又因为任一实平稳随机过程)(tZ与其希尔伯特变换)(ˆtZ满足：)()(ˆZZRR，)(ˆ)(ˆZZZRR，)(ˆ)(ˆZZZRR。故，0000000000sin)(ˆcos)()](cossin)(sin)[cos(ˆ)](sinsin)(cos)[cos()(ZZZZXRRttttRttttRR由0cos)()(aRZ，可得0sin)()(ˆaRZ，代入上式得：)(sin)(cos)()(0202aaaRX；同理可证)()()(tYtYERY)(sin)()(cos)(ˆsin)(cos)(ˆ0000ttZttZttZttZE)(cossin)()(sincos)()(sinsin)()(coscos)(00ˆ00ˆ0000ˆttRttRttRttRZZZZZZ00sin)(ˆcos)(ZZRR=)()(aRX)()()(aRRYX6.5对于窄带平稳随机过程，按6.4题所给条件，求证：0)]()([tYtXE证明：设twtYtwtXtZ00sin)(cos)()(twtYtwtXtZ00cos)(sin)()(ˆtwtZtwtZtX00sin)(ˆcos)()(twtZtwtZtY00sin)(cos)(ˆ)(0000ˆ0000ˆ00ˆsincos)(ˆ)(sinsin)()(sincos)()(cossin)()(coscos)()]()([)(wRwRtwwRtwwRtwwRtwwRtYtXERZZZZZZZZXY30cos)()(wtaRZ0sin)()(ˆwtaRZ0)]()([tYtXE6.6对于窄带平稳随机过程ttYttXtZ00sin)(cos)()(。若其均值为零，功率谱密度为其它,02,cos2,cos)(0000WWGz其中，W，与0都是正实常数。试求：1.)(tZ的平均功率；（5分）2.)(tX的功率谱密度)(XG；（5分）3.互相关函数)(XYR；（5分）4.)(tX和)(tY是否正交？（5分）解：由题意可知)(ZG00020202020W令（1）2000cos2)(21)0(dWdGRZZ22022cos2WdW又)(tZ的平均功率)0(ZR)(tZ的平均功率为22W（2）方法一、00]))[cos((1)(dGRZX42020000])[cos(cos1dW220000}))((cos))(({cos2dW22]cos[cos2dBAW,其中BA,2222sin1sin12BBAAW2cos22cos22W2cos)(222W2cos/)(1122222WdeWdeRGjjXX2cos/)(112)()(222||,cos)(2cos/)(112)(22fF由傅氏变换的对称特性：)(2)(fjF，可得，2||,02||,cos22cos/)(112)(22WdeWGjX方法二、利用性质)]()([)(00ZZPXGGLG可得2||,02||,cos2)]()([)(00WGGLGZZPX（3）方法一、由窄带平稳随机过程的性质可知00]))[sin((1)(dGRZXY2020000)sin(cos1dW5220000})(sin)({sin2dW22]sin[sin2dBAW,其中BA,2/2/2/2/cos1cos12BBAAW0方法二、利用性质)]()([)(00ZZPXYGGjLG可得,0coscos)]()([)(00WWjGGjLGZZPXY0)(21)(deGRjXYXY（4）0)(XYR)(tX和)(tY处处正交。6.8，6.9见讲义。6.10已知)(tX为信号与窄带高斯噪声之和，)()cos()(0tNtwatX，式中，是)2,0(上均匀分布的随机变量，N（t）为窄带平稳高斯过程，且均值为零，方差为2，并可表示为twtNtwtNtNsc00sin)(cos)()(，求证：)(tX的包络平方的自相关函数为)]()()([444)(22224224scCCNNNNXRRRaaaR证明：twtNatwtNatwtNtwtNtwatwatwtNtwtNtwatXscscsc000000000sin)](sin[cos)](cos[sin)(cos)(sinsincoscossin)(cos)()cos()(包络的平方)()()(sin2)(cos2)](sin[)](cos[)()(222222tNtNtNatNaatNatNatXtYscscsc)]()(sin4)()(cos4)()()()()()()()()()()()([)]()([)(22222222222222222224tNtNatNtNatNtNtNtNtNatNtNtNtNNatNatNaaEtYtYERssccsscsssccccscY)(2)]()([2422cNccRtNtNE)(2)]()([2422sNssRtNtNE)(2)]()([2422sCNNscRtNtNE6)(2)]()([2422csNNcsRtNtNE)]()()([444)(2224224scNNNcNcXRRRaaaR