矩阵函数的求法

第八讲矩阵函数的求法1一、利用Jordan标准形求矩阵函数。对于矩阵的多项式，我们曾导出1()()fAPfJP−=，f：多项式()1()2()()fJfJfJfJs=()()111()()()()()1!2!iiiiiiimfffffJm−′′′=−λλλλ实际上，以上结果不仅对矩阵的多项式成立，对矩阵的幂级数也成2立。由此引出矩阵函数的另一种定义及计算方法。1.定义：设n阶矩阵A的Jordan标准形为J12JJJJs=，101()10iiiiiJ=λλλλλ且有非奇异矩阵P使得：1PAPJ−=对于函数()fz，若下列函数()1(),(),,()imiiifff−′λλλ(1,2,,)s=λ均有意义，则称矩阵函数()fA有意义，且3()1()211()()()fJfJfAPfJPPPfJs−−==()()111()()()()()1!2!iiiiiiiiimfffffmmmJ−′′′=−×λλλλ2.矩阵函数的求法（步骤）：1求出A的Jordan标准形及变换矩阵P，1PAPJ−=2对于J的各Jordan块iJ求出()ifJ，即计算出4()1(),(),.......,()imiiifff−′λλλ并按照顺序构成()ifJ，()()111()()()()()1!2!iiiiiiiiimfffffmmmJ−′′′=−×λλλλ3合成()1()2()()fJfJfJfJs=4矩阵乘积给出1()()fAPfJP−=5需要说明的是，计算结果与Jordan标准形中Jordan块的顺序无关。例1（教材P70例1.27）.1234123121A=,求A[解]1o求出J及P11100840022101104114201,,1122816161116JPP−−−−===−62o求出()1(),(),.......,()imiiifff−′λλλ并构成()ifJ：111,4,()mfzz===λ(1)1f=,135111133222(1)|,(1)|,(1)|111224488fzfzfzzzz−−−′′′′′′===−=−=====11682116821()1681616fJ−−=73o合成1()()fJfJ=4o求1()()fAPfJP−=，1111111()111fA=说明：（1）()fzz=，在0z=不存在泰勒展开(而存在洛朗展开),如按原先的幂级数定义，则根本无从谈()fA的计算，可见新的定义延拓了原来的定义；8（2）2211111234111123[()]111211fAA===，可见这样的A确与2A构成反函数；（3）矩阵函数的种类不仅是我们介绍的这种，如辛矩阵。以1001A−=−为例，以我们这里的定义，00iAi±=±，但0110B−=9亦满足2BA=，即B也可以看作某种A二、待定系数法求解矩阵函数.利用Jordan标准形求解矩阵函数的方法比较复杂，它需要求J和P。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。定律：n阶方阵A的最小多项式等于它的特征矩阵的第n个（也就是最后一个）不变因子()ndλ。（可参见张远达《线性代数原理》P215）设n阶方阵A的不变因子反向依次为(),ndλ11(),,()ndd−λλ，由它们给出的初等因子分别为1212(),(),,()rmmmr−−−λλλλλλ；1011(),,()srmmrs++−−λλλλ；…，1siimn==∑由于12231()|(),()|(),,()|()nndddddd−λλλλλλ，故1o1~rs+λλ必定出现在1~rλλ中；2o若()()ijirjr=≤λλ则ijmm≤根据上述定理，A的最小多项式12012()()()()rmmmr=−−−ϕλλλλλλλ即1212()()()rmmmrIAIAIAO−−−=λλλ令1riimm==∑，则可见mA可以由021,,,,mAIAAA−=线性表示，从11而(0)miAi+亦可由021,,,,mAIAAA−=线性表示。所以，矩阵函数()fA若存在，也必定可由01~mAA−线性表示。因此，我们定义一个系数待定的(m-1)次多项式10()miiigc−==∑λλ，根据以上论述，适当选择系数01~mcc−，就可以使f(A)=g(A)又，假设J、P分别为A的Jordan标准形及相应变换矩阵：1APJP−=则1()()fAPfJP−=，1()()()()()()iigAPgJPfJgJfJgJ−=→=→=⇒(1)(1)()(),()(),,()()iimmiiiiiifgfgfg−−′′===λλλλλλ(1,2,,)ir=12由于()gA为待定系数的多项式，上面就成为关于01~mcc−的线性方程组。且方程的个数为1riimm==∑等于未知数个数，正好可以确定01~mcc−由此给出根据最小多项式求矩阵函数的一般方法。1o求出最小多项式120121()()()()(),rrmmmnriidmm===−−−=∑ϕλλλλλλλλ；（或者特征多项式12121()()()(),rrnnnriinn==−−−=∑ϕλλλλλλλ）132o形式上写出待定多项式12101210()mimimigccccc−−−===++++∑λλλλλ（或者12101210()nininigccccc−−−===++++∑λλλλλ）3o求解关于01~mcc−的线性方程组()()()()kkiigf=λλ(0,2,,-1;1,2,,)ikmir==（或者0,2,,-1;1,2,,iknir==）4o求出()gA，即可得()()fAgA=.从推导的过程看，似乎不仅最小多项式可用于矩阵函数的计算，一般14零化多项式也可以，其中以特征多项式最为方便。（但1,2,,ikn=的根据仍需充分作证）例2、采用新方法计算1234123121A=的函数A。（()f=λλ）[解]1o40()()(1).==−ϕλϕλλ114,1mmn====λ；2o230123()gcccc=+++λλλλ3o方程组为0123(1)(1)1gfcccc===+++1231(1)(1)232gfccc′′===++15231(1)(1)264gfcc′′′′==−=+33(1)(1)68gfc′′′′′′===→321015155,,,16161616cccc==−==4o231()(5155)16gAIAAA=+−[phone]A=，31621561621161A=∴16500015304560520501001621565001530455205016211()5015305201616515511111111111fA=+−+=与Jordan标准形方法完全一致。作业：P163617