无穷级数-单元测试题--答案

海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分第十一章无穷级数单元测试题答案一、选择题1、设级数收敛于2，则级数1nnu∞=∑15(3)2nnnu∞=−∑的和为（C）()A0()B1−()C1()D+∞分析：因为1111512(3)35325112212nnnnnnnuu∞∞∞===−=−=×−×−∑∑∑=。2、现有四个命题：①若发散，则123456()()uuuuuu++++++…nu∑发散；②若，发散，则发散；nu∑nv∑(nnuv±∑)③若收敛，则nu∑1nu∑发散；④若发散，则nu∑1nu∑收敛。以上四个命题中正确的个数是（）B()A1()B2()C3()D4分析：①正确。由级数的基本性质知：若级数nu∑收敛，则添加括号后的级数收敛，与已知矛盾，故①正确；②错误。不成立的反例：1n∑，1n−∑都发散，但11(nn)−+∑收敛；③正确。因为由级数收敛的必要条件知：lim0nnu→∞=，有1limnnu→∞=∞，故1nu∑发散；④错误。反例：发散，且n∑1n∑也发散。3、下列级数中，收敛的是（D）()A1111...36912++++()B1357...2468−+−+()C...(0)481216aaaaa++++≠()D22111111()()...()...232323nn−+−++−+分析：13n∑发散，故不选()A；121limlim(1)02nnnnnun−→∞→∞−=−≠故不选；()B1海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分144aann=∑∑发散，故不选(；)C()D是两收敛级数之和，故收敛。4、设正项级数收敛，则下列级数收敛的是（）nu∑B()Anu∑()B2nu∑()C1nu∑()D()nnuu+∑分析：因为收敛，从而nu∑lim0nnu→∞=，故存在NN∈，当时nN1nu，所以，由比较审敛法知收敛。2nnuu2nu∑()A不成立。例如21n∑收敛，但1n∑发散；()D不成立。2211()nn+∑发散；不成立。因为收敛，，所以()Cnu∑lim0nnu→∞=1limnnu→∞=+∞，故1nu∑发散。5、下列级数中，收敛的是（）C()A1111......3521n+++++−()B222121311......12131nn+++++++++++()C111......2536(1)(4)nn++++⋅⋅++()D11(0,0nabanb∞=+∑)分析：因为11212nn−，而1112nn∞=∑发散，所以1121nn∞=−∑发散；又22111nnnnn1n++≥=++，故2111nnn∞=++∑也发散；至于()D，11()anbabn++，所以11nanb∞=+∑发散。对于(,由)C()()21114nnn++，211nn∞=∑收敛，知收敛级数为()C。6、下列级数收敛的是（D）()A15(1)()4nn∞=−∑n()B1(1)cosnnnπ∞=−∑()C154(1)()45nn∞=−+∑n()D1ln(1)nnnn∞=−∑分析：5lim(1)()4nn→∞−n不存在，故()A发散；lim(1)cos1nnnπ→∞−=，故发散；()B54lim(1)()45nn→∞−+n不存在，故发散；下证()C()D中级数收敛，实际上，令lnnnun=，则2海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分111lnln(1)lnln(1)11nnnnnnunnn+++++==++1+ln1lnln1lnlnln1(1)(1)nnnnnn−nnnnnnnnn=+−+=++++3n≥（当时），即，都有，即为单调递减数列，且有3n∀≥1nnuu+{}nulnlimlim0nnnnun→∞→∞==，根据莱布尼兹审敛法知，级数3ln(1)nnnn∞=−∑收敛，从而原级数1ln(1)nnnn∞=−∑也收敛。7、当收敛时，级数与1(nnnab∞=+∑)1nna∞=∑1nnb∞=∑（C）()A必同时收敛()B必同时发散()C可能不同时收敛()D不可能同时收敛分析：设11,1nnabnn==−+，则1nna∞=∑与1nnb∞=∑都发散，而111111()()1(nnnnnabnnnn∞∞∞===+=−=++∑∑∑1)收敛，故排除()A；又设211,2nnnabn==，则2111()2nnn∞=+∑及211nn∞=∑，112nn∞=∑都收敛，排除()B，()D。8、下列结论正确的是（）B()A在收敛域上必绝对收敛0nnnax∞=∑()B在0nnnax∞=∑0x=点必绝对收敛()C0nnnax∞=∑在收敛域上必条件收敛()D11()nnx∞=∑是幂级数分析：11(1)nnnxn−∞=−∑的收敛域为(1,1]−，但在1x=处它条件收敛，故不选()，由幂级数的定义故(D)也不正确。A()C9、下列结论正确的是（）C()A幂级数在收敛域上必绝对收敛()B幂级数的收敛半径为，则一定是正的常数RR3海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分()C幂级数在其收敛域内收敛于它的和函数()Sx()D幂级数在区间[,内一致收敛]RR−分析：(不对，反例：级数)A1nnxn∞=∑的收敛域为[1,1)−，但在1x=−处条件收敛；()不对，反例：B1!nnxn∞=∑的收敛半径R=+∞；()D不对，反例：1nnxn∞=∑，，但它在1R=1x=处并不收敛，更谈不上一致收敛。10、周期为2π的周期函数1,0()1,0xfxxππ−−⎧=⎨≤≤⎩的傅立叶级数满足（D）()A0,0nnba=≠()B0,nanb=全不为零()C0,0nnab≠≠()D0,nanb=不全为零分析：因为()fx的傅立叶系数为001[(cos)cos]0(0,1,2,...)nanxdxnxdxnπππ−=−+==∫∫。000012[(sin)sin]sin22cos(1cos),(1,2,...)nbnxdxnxdxnxdxnxnnnnπππππππππ−=−+==−=−=∫∫∫即当为奇数时，；当为偶数时，n0nb≠n0nb=，故选()D。二、填空题（每小题3分，共30分）1、设，并且11()nnnnuuS∞−=−=∑limnnnuA→∞=，则0nnu∞==∑＿＿＿＿。应填：AS−。分析：因为级数的部分和1101()nnnknkkkkSunukuu−−====−−∑∑，从而101limlim()nnnkknnnkuSnukuuA∞∞−→∞→∞====−−=−∑∑S)2、设为常数，若级数收敛，则a1(nnua∞=−∑limnnu→∞=＿＿＿＿。应填：。a4海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分分析：由级数收敛及收敛的必要条件知：li1(nnua∞=−∑)m()0nnua→∞−=，从而li。mnnua→∞=3、若级数ln1xnn∞=∑收敛，则x的取值范围是＿＿＿＿。应填：10xe。分析：将正项级数ln1xnn∞=∑变形为p级数形式得lnln111xxnnnn∞∞−===∑∑，由p级数的收敛特性知，ln1x−，即，注意到lnln1x−x的定义域得10xe。4、设幂级数的收敛半径为2，则级数1nnnax∞=∑1(1)nnnnax∞=+∑的收敛区间为＿＿＿＿。应填：。(3,1)−分析：11lim||lim||2(1)nnnnnnnaanaa→∞→∞++==+，故当|1|x2+时级数收敛，即1(1)nnnnax∞=+∑31x−时收敛。5、设有级数01()2nnnxa∞=+∑，若11lim||3nnnaa→∞+=，则该级数的收敛半径等于＿＿＿＿。应填：23。分析：注意到幂级数01()2nnnxa∞=+∑的系数并非，因此，不要误以为na1lim||nnnaa→∞+即为该级数的收敛半径，实际上，1111132lim||lim||1222nnnnnnnnaaaaρ+++→∞→∞===，故原级数的收敛半径为123Rρ==。6、幂级数2112(3)nnnnnx∞−=+−∑的收敛半径R=＿＿＿＿。应填：3。分析：级数缺少偶次幂的项，我们根据比值审敛法来求收敛半径。5海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分6211122112112()12(3)12(3)3lim||lim||||lim||||||22(3)32()(3)2(3)3nnnnnnnnnnnnnnnnx2xxxnx+++++→∞→∞→∞−+−++−+−==+−⋅−+−+−=，当21||13x，即||3x时级数收敛，从而3R=。7、若幂级数在内收敛，则应满足＿＿＿＿。20(0nnnaxa∞=∑))(,−∞+∞应填：。01a分析：因22(1)21lim||limnnnnnaaa++→∞→∞=，则只有当01a时，21lim0,nnaR+→∞==+∞，即级数在(,内收敛。20(0nnnaxa∞=∑))−∞+∞8、24610(1...)1!2!3!xxxxdx−+−+=∫＿＿＿＿。应填：11(1)2e−−。分析：原式2222310()()()[1...]1!2!3!xxxxdx−−−=++++∫2221111000111()(1222xxx)xedxdeee−−−==−=−=−∫∫−。9、设()fx是周期为2的周期函数，它在区间(1,1]−上的定义为，则32,10(),01xfxxx−≤⎧=⎨≤⎩()fx的傅立叶级数在1x=处收敛于＿＿＿＿。应填：32。分析：由狄利克雷收敛定理，可知傅立叶级数在1x=处收敛于(10)(10)12322ff−+−++==2。10、设()fx在[0上连续，在内有,]l(0,)l1()sinnnnfxblxπ∞==∑，则的计算公式为＿＿＿＿。nb应填：02()sinlnfxxlldxπ∫。海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分分析：由题设条件可知是对()fx进行奇延拓，由相应的系数公式即可推出02()sinlnnbfxllxdxπ=∫。三、简答题（每小题8分，共40分）1、设级数收敛，且1nnu∞=∑lim1nnnvu→∞=，问级数1nnv∞=∑是否也收敛？试说明理由。分析：不一定。例如：111(1)nnnnun∞∞===−∑∑收敛，令11(1)nnvnn=−+，则11(1)limlim11(1)nnnnnnvnnun→∞→∞−+==−，但级数1111[(1)]nnnnvnn∞∞===−+∑∑发散。2、若，，则0nu≠lim(0)nnuuu→∞=≠1||nnuu+−∑与111nnuu+−∑有相同的敛散性。分析：因为12111111limlim||||nnnnnnnnuuuuuuu+→∞→∞++−==−，且210u+∞，所以由比较审敛法的极限形式，与1||nnuu+−∑111nnuu+−∑有相同的敛散性。3、判别13(1)2nnn∞=+−∑的敛散性。分析：利用根值审敛法。因为3(1)3(1)limlimlim22nnnnnnnnnnu→∞→∞→∞+−+−==，且23(1)4nnnn≤+−≤，lim2lim41nnnn→∞→∞==，所以lim3(1)1nnn→∞+−=，于是1lim12nnnu→∞=，故13(1)2nnn∞=+−∑收敛。4、试研究级数1(1)(01nnnaana∞=−⋅+∑)是绝对收敛、条件收敛还是发散？分析：先考虑其绝对值级数111nnana∞=⋅+∑。当时，1a11naanaa⋅+7n，而级数111nna∞=∑−海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分收敛，则原级数绝对收敛。当1a≤时，1112naanan⋅⋅+，则211naa∞=+∑发散。此时令8()(1)xxxa=+，则()1lnxxfxaxa′=++fa，从而当x充分大时()0fx′，()fx单增，那么n充分大时，(1)nana+单调增，且lim0(1)nnana→∞=+，故原级数1(1)1nnnana∞=−⋅+∑收敛，即原级数条件收敛。5、求级数的和函数，并求该和函数的极大值。221(1)(1)...(1)...nnxxxxxx+−+−++−+()Sx分析：此级数为公比的等比级数，由等比级数和函数的公式得(1)qxx=−211()1(1)1Sxxxxx==−−−+，设2()1fxxx=−+，则()21fxx′=